• Questão 13. Ache o domínio da função de Bessel de ordem 0 definida por \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n}}{2^{2 n}(n!)^{2}}.

Passo 1

O enunciado dá a função de Bessel de ordem 0 por meio da série de potências
f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}\,x^{2n}}{2^{2n}\,(n!)^{2}}
e pede o domínio dessa função. Para isso, vamos usar o conceito de série de potências e o teste da razão para obter o raio de convergência.

Passo 2

Identificamos o termo geral da série como
a_n=\frac{(-1)^{n}\,x^{2n}}{2^{2n}\,(n!)^{2}}.
Queremos aplicar o teste da razão, que analisa
\displaystyle\lim_{n\to\infty}\bigl|a_{n+1}/a_n\bigr|.

Passo 3

Calculemos a razão entre termos consecutivos:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\frac{\bigl|(-1)^{n+1}x^{2(n+1)}\bigr|}{2^{2(n+1)}((n+1)!)^{2}} \;\bigg/\; \frac{\bigl|(-1)^{n}x^{2n}\bigr|}{2^{2n}(n!)^{2}} =\frac{|x|^2}{4\,(n+1)^{2}}.
Ao deixar n\to\infty, obtemos
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{|x|^2}{4\,(n+1)^{2}}=0.

Passo 4

O teste da razão garante convergência sempre que esse limite for menor que 1. Aqui o limite vale 0 para qualquer x\in\mathbb{R} (e até para qualquer x\in\mathbb{C}), logo o raio de convergência é infinito.

Resposta

O domínio da função é todo o conjunto dos números reais, isto é, \mathbb{R}.

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