• Questão 17. Determine a série de Fourier das funções:
h(x)= \begin{cases}0, & \text { se }-\pi \leqslant x \leqslant 0 ; \\\\ 1, & \text { se } 0<x \leqslant \pi .\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função periódica de período 2\pi\) dada em \([-\pi,\pi]\) por \[h(x)= \begin{cases} 0, & -\pi\le x\le 0,\\\\ 1, & 0<x\le \pi. \end{cases}
Queremos expandir (h(x)] em série de Fourier na forma
h(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr),
onde
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}h(x)\cos(nx)\,dx, \quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}h(x)\sin(nx)\,dx,
e
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}h(x)\,dx.

Passo 2

Calcular a_0. Como h(x)=0 em [-\pi,0] e h(x)=1 em (0,\pi],
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}h(x)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}1\,dx =\frac{1}{\pi}\,\pi =1.

Passo 3

Calcular a_n para n\ge1.
a_n =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}h(x)\cos(nx)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx.
Usando \displaystyle\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx=\bigl[\tfrac{\sin(nx)}{n}\bigr]_0^{\pi}=\frac{\sin(n\pi)-0}{n}=0, vem
a_n=0\quad\forall n\ge1.

Passo 4

Calcular b_n para n\ge1.
b_n =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}h(x)\sin(nx)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx.
Como
\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx =\bigl[-\tfrac{\cos(nx)}{n}\bigr]_0^{\pi} =-\frac{\cos(n\pi)-\cos(0)}{n} =\frac{1-(-1)^n}{n},
obtemos
b_n =\frac{1}{\pi}\cdot\frac{1-(-1)^n}{n} =\frac{1-(-1)^n}{n\pi}.
Portanto b_n=0 se n é par e b_n=\tfrac{2}{n\pi} se n é ímpar.

Passo 5

Juntando tudo, a série de Fourier de h(x) fica
h(x) =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty b_n\sin(nx) =\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^\infty\frac{1-(-1)^n}{n\pi}\,\sin(nx).
Como só os termos ímpares sobrevivem, podemos reescrever
h(x) =\frac12+\frac{2}{\pi}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{2m+1}\,\sin\bigl((2m+1)x\bigr).

Resposta

\boxed{ h(x) =\frac12+\sum_{n=1}^\infty\frac{1-(-1)^n}{n\pi}\,\sin(nx) \;=\;\frac12+\frac{2}{\pi}\sum_{m=0}^\infty\frac{1}{2m+1}\sin\bigl((2m+1)x\bigr). }

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