Questão 17. Determine a série de Fourier das funções:
h(x)= \begin{cases}0, & \text { se }-\pi \leqslant x \leqslant 0 ; \\\\ 1, & \text { se } 0<x \leqslant \pi .\end{cases}
Passo 1
O enunciado define a função periódica de período 2\pi\) dada em \([-\pi,\pi]\) por
\[h(x)= \begin{cases} 0, & -\pi\le x\le 0,\\\\ 1, & 0<x\le \pi. \end{cases}
Queremos expandir (h(x)] em série de Fourier na forma h(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr),
onde a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}h(x)\cos(nx)\,dx, \quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}h(x)\sin(nx)\,dx,
e a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}h(x)\,dx.
Passo 2
Calcular a_0. Como h(x)=0 em [-\pi,0] e h(x)=1 em (0,\pi],