A vida de um semicondutor a laser, a uma potência constante, segue um modelo normal com média de 7000 horas e desvio padrão de 600 horas.
a. Qual a probabilidade do laser falhar antes de completar 8000 horas?
b. Qual deve ser o tempo de vida em horas de tal forma que 95 % dos lasers excedem a esse tempo?
c. Se três lasers forem usados em certo produto e se eles falharem independentemente, qual a probabilidade de todos os três estarem ainda operando após 8000 horas?

Passo 1

O enunciado diz que a vida X de um semicondutor a laser, sob potência constante, segue uma distribuição Normal com média mu=7000 horas e desvio-padrão sigma=600 horas. Vamos usar propriedades da Normal padrão para (a) calcular P(X<8000), (b) encontrar t tal que P(X>t)=0,95 e (c) aproveitar independência para três lasers.

Passo 2

Para (a), padronizamos X e achamos
P(X<8000) = P!l(Z<8000-7000600r) = P!l(Z<1,6667r),
onde Zsim N(0,1). Usando tabela ou calculadora,
P(Z<1,6667)approx0,9525

Passo 3

Para (b), queremos t tal que
P(X>t)=0,95 Longrightarrow P(X<= t)=0,05
Na Normal padrão isso equivale a P(Z<= z)=0,05, logo zapprox -1,645. Voltando a X:
t = mu + z,sigma = 7000 + (-1,645)cdot600 approx 7000 - 987 = 6013 horas

Passo 4

Para (c), a probabilidade de um laser resistir além de 8000 horas é
P(X>8000)=1 - P(X<=8000) =1 - 0,9525 =0,0475
Como os três lasers falham independentemente, a chance de todos estarem operando após 8000 h é
(0,0475)^3 approx 1,07times10^-4

Resposta

(a) 0,9525
(b) 6013 horas
(c) 1,07times10^-4

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