QUESTÃO 21. Calcular as dimensões do maior jardim retangular que deve ser fechado com 200 m de cerca.

Passo 1

O enunciado pede as dimensões do maior jardim retangular que pode ser fechado com 200 m de cerca. O conteúdo envolvido é otimização de função de duas variáveis com restrição de perímetro. Para resolver, vamos reduzir a área a uma função de uma única variável usando a restrição do perímetro e aplicar derivadas para encontrar o máximo.

Passo 2

O perímetro do retângulo de lados x e y é
P = 2(x + y),
e temos P = 200. Isolando y:
y = 100 - x.

Passo 3

A área do retângulo é A = x\,y. Substituindo y em função de x:
A(x) = x\,(100 - x) = 100x - x^2.
Para encontrar o máximo, calculamos a derivada:
A'(x) = 100 - 2x.

Passo 4

Igualando A'(x)=0 resulta
100 - 2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 50.
Verificando a concavidade com a segunda derivada:
A''(x) = -2 < 0,
logo é um máximo local. Então y = 100 - 50 = 50.

Resposta

As dimensões do maior jardim são 50 m de largura por 50 m de comprimento.

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