QUESTÃO 21. Calcular as dimensões do maior jardim retangular que deve ser fechado com 200 m de cerca.
Passo 1
O enunciado pede as dimensões do maior jardim retangular que pode ser fechado com
m de cerca. O conteúdo envolvido é otimização de função de duas variáveis com restrição de perímetro. Para resolver, vamos reduzir a área a uma função de uma única variável usando a restrição do perímetro e aplicar derivadas para encontrar o máximo.
Passo 2
O perímetro do retângulo de lados
e
é
e temos
. Isolando
:
Passo 3
A área do retângulo é
. Substituindo
em função de
:
Para encontrar o máximo, calculamos a derivada:
Passo 4
Igualando
resulta
Verificando a concavidade com a segunda derivada:
logo é um máximo local. Então
.
Resposta
As dimensões do maior jardim são
m de largura por
m de comprimento.