• Questão 13: Calcule a matriz inversa da matriz a seguir:
C=[ccc -3 & 4 & -5 0 & 1 & 2 3 & -5 & 4 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver a Questão 13 que pede para calcular a matriz inversa da matriz C . Estamos trabalhando com matrizes e inversas, que são conceitos de Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar encontrar o determinante da matriz C e a sua matriz adjunta. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o determinante da matriz C . O determinante é uma medida que nos indica se a matriz tem inversa (se for diferente de zero). A matriz C é:
C = -3 & 4 & -5 0 & 1 & 2 3 & -5 & 4
Para uma matriz 3x3, o determinante é calculado assim:
det(C) = -3 cdot (1 cdot 4 - 2 cdot (-5)) - 4 cdot (0 cdot 4 - 2 cdot 3) + (-5) cdot (0 cdot (-5) - 1 cdot 3)

Passo 3

Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. Primeiro termo:
-3 cdot (1 cdot 4 - 2 cdot (-5)) = -3 cdot (4 + 10) = -3 cdot 14 = -42
  1. Segundo termo:
-4 cdot (0 cdot 4 - 2 cdot 3) = -4 cdot (0 - 6) = -4 cdot (-6) = 24
  1. Terceiro termo:
-5 cdot (0 cdot (-5) - 1 cdot 3) = -5 cdot (0 - 3) = -5 cdot (-3) = 15

Passo 4

Agora, somamos esses resultados para encontrar o determinante:
det(C) = -42 + 24 + 15 = -3
Como o determinante é diferente de zero ( -3), a matriz C tem inversa.

Passo 5

O próximo passo é encontrar a matriz de cofatores de C . Para isso, calculamos o cofator de cada elemento da matriz. O cofator Cij é dado por:
Cij = (-1)^i+j cdot Mij
onde Mij é o menor da matriz removendo a i-ésima linha e j-ésima coluna.
Vamos calcular cada cofator:
  1. C11 = (-1)^1+1 cdot 1 & 2 -5 & 4 = 1 cdot (1 cdot 4 - 2 cdot (-5)) = 1 cdot (4 + 10) = 14
  2. C12 = (-1)^1+2 cdot 0 & 2 3 & 4 = -1 cdot (0 cdot 4 - 2 cdot 3) = -1 cdot (0 - 6) = 6
  3. C13 = (-1)^1+3 cdot 0 & 1 3 & -5 = 1 cdot (0 cdot (-5) - 1 cdot 3) = 1 cdot (0 - 3) = -3
  4. C21 = (-1)^2+1 cdot 4 & -5 -5 & 4 = -1 cdot (4 cdot 4 - (-5) cdot (-5)) = -1 cdot (16 - 25) = 9
  5. C22 = (-1)^2+2 cdot -3 & -5 3 & 4 = 1 cdot (-3 cdot 4 - (-5) cdot 3) = 1 cdot (-12 + 15) = 3
  6. C23 = (-1)^2+3 cdot -3 & 4 3 & -5 = -1 cdot (-3 cdot (-5) - 4 cdot 3) = -1 cdot (15 - 12) = -3
  7. C31 = (-1)^3+1 cdot 4 & -5 1 & 2 = 1 cdot (4 cdot 2 - (-5) cdot 1) = 1 cdot (8 + 5) = 13
  8. C32 = (-1)^3+2 cdot -3 & -5 0 & 2 = -1 cdot (-3 cdot 2 - (-5) cdot 0) = -1 cdot (-6 - 0) = 6
  9. C33 = (-1)^3+3 cdot -3 & 4 0 & 1 = 1 cdot (-3 cdot 1 - 4 cdot 0) = 1 cdot (-3 - 0) = -3

Passo 6

Com os cofatores calculados, formamos a matriz de cofatores:
Cof(C) = 14 & 6 & -3 9 & 3 & -3 13 & 6 & -3

Passo 7

Agora, vamos transpor a matriz de cofatores para obter a matriz adjunta ( Adj(C)):
Adj(C) = 14 & 9 & 13 6 & 3 & 6 -3 & -3 & -3

Passo 8

Finalmente, para encontrar a matriz inversa C^-1 , dividimos a matriz adjunta pelo determinante de C :
C^-1 = 1det(C) cdot Adj(C) = 1-3 cdot 14 & 9 & 13 6 & 3 & 6 -3 & -3 & -3

Passo 9

Fazendo a divisão:
C^-1 = 14-3 & 9-3 & 13-3 6-3 & 3-3 & 6-3 -3-3 & -3-3 & -3-3 = -143 & -3 & -133 -2 & -1 & -2 1 & 1 & 1

Resposta

A matriz inversa de C é:
C^-1 = -dfrac143 & -3 & -dfrac133 -2 & -1 & -2 1 & 1 & 1

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