• Questão 14: Resolva o sistema a seguir utilizando escalonamento:
l x+4 y+6 z=11 2 x+3 y+4 z=9 3 x+2 y+2 z=7

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O que temos aqui é um sistema linear com três equações e três incógnitas: x, y e z. A matéria que vamos usar para resolver isso é o método de escalonamento (também conhecido como eliminação de Gauss). Para isso, vamos manipular as equações para simplificar o sistema passo a passo até encontrar os valores das incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema na forma de uma matriz aumentada para facilitar a visualização:
1 & 4 & 6 & | & 11 2 & 3 & 4 & | & 9 3 & 2 & 2 & | & 7
Aqui, cada linha representa uma equação e as colunas representam os coeficientes de x, y, z e o lado direito da igualdade.

Passo 3

Nosso objetivo é escalonar a matriz, ou seja, transformar a matriz em uma forma triangular superior onde conseguimos resolver uma incógnita de cada vez.
Começamos com a primeira coluna. Já temos o coeficiente de x igual a 1 na primeira linha, o que é ótimo!
Agora, vamos eliminar o x das outras duas linhas usando operações de linha.
  • Eliminar x da segunda linha:
    Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
Linha 2 = Linha 2 - 2 times Linha 1
Calculando:
2 - 2 times 1 = 0 3 - 2 times 4 = 3 - 8 = -5 4 - 2 times 6 = 4 - 12 = -8 9 - 2 times 11 = 9 - 22 = -13
Então, a segunda linha fica:
0 -5 -8 | -13
  • Eliminar x da terceira linha:
    Subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 - 3 times Linha 1
Calculando:
3 - 3 times 1 = 0 2 - 3 times 4 = 2 - 12 = -10 2 - 3 times 6 = 2 - 18 = -16 7 - 3 times 11 = 7 - 33 = -26
Então, a terceira linha fica:
0 -10 -16 | -26
Agora, nossa matriz fica assim:
1 & 4 & 6 & | & 11 0 & -5 & -8 & | & -13 0 & -10 & -16 & | & -26

Passo 4

Vamos agora focar na segunda coluna. Queremos que o coeficiente de y na segunda linha seja 1 para facilitar.
Para isso, vamos dividir a segunda linha por -5:
Linha 2 = 1-5 times Linha 2
Calculando:
0 1 85 | 135
Então, a segunda linha fica:
0 1 85 | 135
Nossa matriz agora é:
1 & 4 & 6 & | & 11 0 & 1 & 85 & | & 135 0 & -10 & -16 & | & -26

Passo 5

Vamos eliminar o y da terceira linha. Para isso, somamos 10 vezes a segunda linha à terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 + 10 times Linha 2
Calculando:
0 + 10 times 0 = 0 -10 + 10 times 1 = 0 -16 + 10 times 85 = -16 + 16 = 0 -26 + 10 times 135 = -26 + 26 = 0
Então, a terceira linha fica:
0 0 0 | 0
Nossa matriz final fica:
1 & 4 & 6 & | & 11 0 & 1 & 85 & | & 135 0 & 0 & 0 & | & 0

Passo 6

Agora, podemos escrever as equações correspondentes:
  1. x + 4y + 6z = 11
  2. y + 85z = 135
  3. 0 = 0 (isso significa que a terceira equação não adiciona novas informações)
Vamos resolver a segunda equação para y:
y = 135 - 85z
Ou simplificando:
y = 13 - 8z5

Passo 7

Agora, substituímos o valor de y na primeira equação para encontrar x:
x + 4(13 - 8z5) + 6z = 11
Vamos resolver isso passo a passo:
  1. Multiplicar 4 por 13 - 8z5:
4 times 13 - 8z5 = 52 - 32z5
  1. Substituir na equação:
x + 52 - 32z5 + 6z = 11
  1. Vamos somar os termos com z:
x + 525 - 32z5 + 6z = 11
Convertendo 6z para ter denominador 5:
6z = 30z5
Então:
x + 525 - 32z5 + 30z5 = 11
  1. Simplificando os termos com z:
-32z5 + 30z5 = -2z5
  1. A equação agora fica:
x + 525 - 2z5 = 11
  1. Subtraindo 525 de ambos os lados:
x - 2z5 = 11 - 525 = 555 - 525 = 35
  1. Isolando x:
x = 35 + 2z5 = 3 + 2z5

Resposta

A solução do sistema é:
x = 3 + 2z5, y = 13 - 8z5, z é um número real qualquer éú
Isso significa que as incógnitas x e y dependem do valor escolhido para z. Portanto, o sistema possui infinitas soluções.

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