Questão 13. Determine a base e a dimensão do subespaço gerado por \{(3,10,-6,-5),(2,6,-3,-3),(1,2,0,-1)\}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de vetores
v_1=(3,10,-6,-5),\qquad v_2=(2,6,-3,-3),\qquad v_3=(1,2,0,-1)
em \mathbb{R}^4 e pede: determinar uma base e a dimensão do subespaço gerado por \{v_1,v_2,v_3\}.
Informações relevantes:
  • Queremos o subespaço \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}.
  • Precisamos decidir se os vetores são linearmente independentes ou não, e extrair um conjunto de vetores linearmente independentes que gerem o mesmo subespaço (uma base).

Passo 2

Estratégia didática: vou testar se algum dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. Se, por exemplo, v_3 for combinação de v_1 e v_2, então \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}=\operatorname{span}\{v_1,v_2\}. Para verificar isso, procuro escalares a,b tais que
a\,v_1+b\,v_2=v_3.
Escrever isso componente a componente dá o sistema linear (uma equação por componente):
\begin{cases} 3a+2b=1,\\[4pt] 10a+6b=2,\\[4pt] -6a-3b=0,\\[4pt] -5a-3b=-1. \end{cases}]

Passo 3

Resolver o sistema. Começo pela terceira equação porque ela é simples:
-6a-3b=0 \quad\Rightarrow\quad -3(2a+b)=0 \quad\Rightarrow\quad 2a+b=0.
Logo
b=-2a.
Substituo esse valor na primeira equação:
3a+2(-2a)=3a-4a=-a=1 \quad\Rightarrow\quad a=-1.
Então
b=-2a=-2(-1)=2.
Faço a verificação com a segunda e quarta equações para garantir consistência:
Segunda: 10a+6b=10(-1)+6\cdot2=-10+12=2 (ok).
Quarta: -5a-3b=-5(-1)-3\cdot2=5-6=-1 (ok).
Portanto existem a=-1 e b=2 tais que -1\cdot v_1 + 2\cdot v_2 = v_3. Conclusão: v_3 é combinação linear de v_1 e v_2.

Passo 4

Como v_3\) depende linearmente de \(v_1\) e \(v_2\), temos \[\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}=\operatorname{span}\{v_1,v_2\}.
Agora preciso verificar se v_1 e v_2 são linearmente independentes. Para isso testo se existem escalares c_1,c_2 (não ambos zero) tais que
c_1 v_1 + c_2 v_2 = 0.
Escrevendo componentes:
\begin{cases} 3c_1+2c_2=0,\\[4pt] 10c_1+6c_2=0,\\[4pt] -6c_1-3c_2=0,\\[4pt] -5c_1-3c_2=0. \end{cases}
Da terceira equação:
-6c_1-3c_2=0 \quad\Rightarrow\quad 2c_1+c_2=0 \quad\Rightarrow\quad c_2=-2c_1.
Substituindo na primeira equação:
3c_1+2(-2c_1)=3c_1-4c_1=-c_1=0 \quad\Rightarrow\quad c_1=0,
logo c_2=-2c_1=0\]. Só existe a solução trivial \(c_1=c_2=0, portanto v_1 e v_2 são linearmente independentes.]

Passo 5

Conclusões finais a partir dos passos anteriores:
  • O conjunto \{v_1,v_2\} gera o mesmo subespaço que \{v_1,v_2,v_3\} (porque v_3 é combinação dos dois).
  • Os vetores v_1 e v_2 são linearmente independentes, então \{v_1,v_2\} é uma base do subespaço gerado originalmente.
  • Como a base tem 2 vetores, a dimensão do subespaço é 2.

Resposta

Base: \{(3,10,-6,-5),\\ (2,6,-3,-3)\}
Dimensão: 2

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