em \mathbb{R}^4 e pede: determinar uma base e a dimensão do subespaço gerado por \{v_1,v_2,v_3\}.
Informações relevantes:
Queremos o subespaço \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}.
Precisamos decidir se os vetores são linearmente independentes ou não, e extrair um conjunto de vetores linearmente independentes que gerem o mesmo subespaço (uma base).
Passo 2
Estratégia didática: vou testar se algum dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. Se, por exemplo, v_3 for combinação de v_1 e v_2, então \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}=\operatorname{span}\{v_1,v_2\}. Para verificar isso, procuro escalares a,b tais que
a\,v_1+b\,v_2=v_3.
Escrever isso componente a componente dá o sistema linear (uma equação por componente):
Faço a verificação com a segunda e quarta equações para garantir consistência:
Segunda: 10a+6b=10(-1)+6\cdot2=-10+12=2 (ok).
Quarta: -5a-3b=-5(-1)-3\cdot2=5-6=-1 (ok).
Portanto existem a=-1 e b=2 tais que -1\cdot v_1 + 2\cdot v_2 = v_3. Conclusão: v_3 é combinação linear de v_1 e v_2.
Passo 4
Como v_3\) depende linearmente de \(v_1\) e \(v_2\), temos
\[\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}=\operatorname{span}\{v_1,v_2\}.
Agora preciso verificar se v_1 e v_2 são linearmente independentes. Para isso testo se existem escalares c_1,c_2 (não ambos zero) tais que