Questão 6. Verifique se W=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=1\right\} é um subespaço vetorial.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
W=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x=1\}
ou seja, todos os pares ordenados em que a primeira coordenada vale 1. A pergunta é: verificar se W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^2.
Informações relevantes fornecidas:
  • Um elemento genérico de W tem a forma (1,y) com y\in\mathbb{R}.
  • A verificação deve responder “sim” ou “não” sobre W ser subespaço, e devemos justificar.

Passo 2

Relembrar o que significa ser subespaço vetorial (aula rápida e prática).
  • Um subconjunto S\subseteq\mathbb{R}^2 é subespaço vetorial se e somente se:
    1. S é não vazio;
    2. S é fechado sob soma: para todo u,v\in S vale u+v\in S;
    3. S é fechado sob multiplicação por escalar: para todo \alpha\in\mathbb{R} e todo v\in S vale \alpha v\in S.
Explicando por que esses três testes são suficientes (passo-a-passo didático):
  • Não vazio: sem nenhum vetor não faz sentido falar em fechamento (o conjunto vazio falha em ser subespaço porque não contém o vetor zero).
  • Fechamento na multiplicação por escalar garante que, se v\in S, então 0\cdot v = (0,0)\in S. Portanto, todo subespaço necessariamente contém o vetor zero (0,0). Esse é um teste rápido e prático: se o conjunto não contém (0,0), já dá para concluir que não é subespaço.
  • Fechamento na soma evita que somas de vetores do conjunto saiam dele; fechamento por escalares garante que qualquer múltiplo escalar do vetor também fica no conjunto. Juntos são as operações vetoriais fundamentais.

Passo 3

Teste imediato: verificar se o vetor zero (0,0) pertence a W.
  • Um vetor (x,y) pertence a W apenas se x=1.
  • Para o vetor zero temos (0,0) com primeira coordenada 0.
  • Como 0\neq 1, concluímos que (0,0)\notin W.
Comentário didático: já que todo subespaço deve conter o vetor zero, o fato de (0,0)\notin W é suficiente para afirmar que W NÃO é subespaço vetorial de \mathbb{R}^2. Não precisamos testar as outras propriedades; uma falha basta.

Passo 4

Mostro também, para intuição, contraexemplos simples que evidenciam a falta de fechamento sob operações:
  • Escolha v=(1,0). Então v\in W (pois a primeira coordenada é 1).
  • Soma: v+v=(1,0)+(1,0)=(2,0). Como a primeira coordenada agora é 2\neq1, tem (2,0)\notin W. Assim W não é fechado sob soma.
  • Escalar: tome \alpha=0. Então \alpha v=0\cdot(1,0)=(0,0)\notin W. Assim W não é fechado sob multiplicação por escalar.
Esses contraexemplos reforçam a conclusão do passo anterior: W falha nas propriedades necessárias.

Passo 5

Conclusão final construída a partir dos testes anteriores: W não contém o vetor zero e também não é fechado sob soma nem sob multiplicação por escalar; portanto W não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^2.

Resposta

Não. W não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^2.

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