Questão 6. Verifique se
é um subespaço vetorial.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
ou seja, todos os pares ordenados em que a primeira coordenada vale
. A pergunta é: verificar se
é um subespaço vetorial de
.
Informações relevantes fornecidas:
- Um elemento genérico de
tem a forma com . - A verificação deve responder “sim” ou “não” sobre
ser subespaço, e devemos justificar.
Passo 2
Relembrar o que significa ser subespaço vetorial (aula rápida e prática).
- Um subconjunto
é subespaço vetorial se e somente se: -
é não vazio; -
é fechado sob soma: para todo vale ; -
é fechado sob multiplicação por escalar: para todo e todo vale .
-
Explicando por que esses três testes são suficientes (passo-a-passo didático):
- Não vazio: sem nenhum vetor não faz sentido falar em fechamento (o conjunto vazio falha em ser subespaço porque não contém o vetor zero).
- Fechamento na multiplicação por escalar garante que, se
, então . Portanto, todo subespaço necessariamente contém o vetor zero . Esse é um teste rápido e prático: se o conjunto não contém , já dá para concluir que não é subespaço. - Fechamento na soma evita que somas de vetores do conjunto saiam dele; fechamento por escalares garante que qualquer múltiplo escalar do vetor também fica no conjunto. Juntos são as operações vetoriais fundamentais.
Passo 3
Teste imediato: verificar se o vetor zero
pertence a
.
- Um vetor
pertence a apenas se . - Para o vetor zero temos
com primeira coordenada . - Como
, concluímos que .
Comentário didático: já que todo subespaço deve conter o vetor zero, o fato de
é suficiente para afirmar que
NÃO é subespaço vetorial de
. Não precisamos testar as outras propriedades; uma falha basta.
Passo 4
Mostro também, para intuição, contraexemplos simples que evidenciam a falta de fechamento sob operações:
- Escolha
. Então (pois a primeira coordenada é ). - Soma:
. Como a primeira coordenada agora é , tem . Assim não é fechado sob soma. - Escalar: tome
. Então . Assim não é fechado sob multiplicação por escalar.
Esses contraexemplos reforçam a conclusão do passo anterior:
falha nas propriedades necessárias.
Passo 5
Conclusão final construída a partir dos testes anteriores:
não contém o vetor zero e também não é fechado sob soma nem sob multiplicação por escalar; portanto
não é subespaço vetorial de
.
Resposta
Não.
não é subespaço vetorial de
.