Questão 9. Estude a dependência linear dos vetores.
a)
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Passo 1
O enunciado pede: estudar a dependência linear do conjunto de vetores. Os vetores dados são:
O objetivo é determinar se existe uma combinação linear não trivial
com
nem todos iguais a zero. Se existir, o conjunto é linearmente dependente; se a única solução for
, é linearmente independente.
Passo 2
Definição e metodologia escolhida (curtinha e prática).
- Definição: vetores
são linearmente dependentes se existem escalares , nem todos nulos, tais que
- Método: vou montar o sistema linear para as componentes (equivalente a montar a matriz com as colunas
e resolver ) e aplicar eliminação de Gauss. Esse método é básico, direto e dá a relação explícita quando houver dependência.
Passo 3
Escrever o sistema de equações para os coeficientes
. Pelas componentes:
Em forma matricial aumentada:
]
Passo 4
Aplicar eliminação de Gauss passo a passo (explicando cada operação).
- Trocar a primeira e a terceira linha para facilitar (queremos um pivô 1):
. A matriz fica
- Multiplicar a nova
por para ter pivô : :
- Eliminar abaixo do pivô da primeira coluna:
-
dá . -
dá .
Agora:
- Observação útil:
. Isso indica que a terceira linha se tornará zero após a eliminação adicional, o que sugere existência de variáveis livres (logo soluções não-triviais). - Eliminar
usando : resulta em . Matriz escalonada final:
]
Passo 5
Resolver por substituição (retro-substituição) e interpretar o resultado.
- Da segunda linha:
. Ou seja,
- Da primeira linha:
. Substituindo :
- Há uma variável livre, por exemplo
(qualquer escalar). Então as soluções são
Como existe solução com
, há combinação linear não trivial. Uma relação explícita de dependência (pegando
) é
Verificação rápida (só para confirmar): calcular
.
Resposta
Linearmente dependentes. Relação de dependência:
.