Questão 13) Determine o valor de \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} quando:
f(x)=x^{3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
quando f(x)=x^{3}.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x^{3}.
  • A expressão a ser avaliada é a diferença quociente \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} no limite quando h\to 0.

Passo 2

O que essa expressão representa (de forma simples e útil para a prova): é a definição de derivada de f em x. Ou seja, o limite acima, se existir, é a taxa de variação instantânea de f em x. Não é preciso conhecer a fórmula pronta; vamos calcular expandindo e simplificando passo a passo.

Passo 3

Calcular f(x+h). Substituindo x+h em f:
f(x+h)=(x+h)^{3}.
Expandindo o cubo pelo binômio de Newton:
(x+h)^{3}=x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}.

Passo 4

Formar o numerador da diferença quociente:
f(x+h)-f(x)=(x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3})-x^{3}=3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}.

Passo 5

Dividir pelo h e simplificar:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}}{h}=3x^{2}+3xh+h^{2}.
Aqui foi usado fator comum h no numerador e cancelado com o denominador.

Passo 6

Agora aplicar o limite quando h\to 0. As parcelas que têm h ou h^{2} tendem a zero quando h\to0. Logo:
\lim_{h\rightarrow 0}\bigl(3x^{2}+3xh+h^{2}\bigr)=3x^{2}+3x\cdot 0+0^{2}=3x^{2}.
Explicando por quê: \lim_{h\to0}3xh=3x\cdot\lim_{h\to0}h=0 e \lim_{h\to0}h^{2}=0.

Passo 7

Interpretação final e dica prática para prova: o limite existe para todo x e o valor é 3x^{2}. Isso é exatamente a derivada de x^{3}. Uma verificação rápida: se quiser o valor da derivada em um ponto, por exemplo em x=2, basta substituir: \,3\cdot 2^{2}=12. Mais geral, esse cálculo ilustra por que a regra do poder vale: para x^{n} a derivada é n x^{n-1} (pode ser obtida expandindo (x+h)^{n} e dividindo por h).

Resposta

\,3x^{2}

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