Questão 13) Determine o valor de
quando:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
quando
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - A expressão a ser avaliada é a diferença quociente
no limite quando .
Passo 2
O que essa expressão representa (de forma simples e útil para a prova): é a definição de derivada de
em
. Ou seja, o limite acima, se existir, é a taxa de variação instantânea de
em
. Não é preciso conhecer a fórmula pronta; vamos calcular expandindo e simplificando passo a passo.
Passo 3
Calcular
. Substituindo
em
:
Expandindo o cubo pelo binômio de Newton:
Passo 4
Formar o numerador da diferença quociente:
Passo 5
Dividir pelo
e simplificar:
Aqui foi usado fator comum
no numerador e cancelado com o denominador.
Passo 6
Agora aplicar o limite quando
. As parcelas que têm
ou
tendem a zero quando
. Logo:
Explicando por quê:
e
.
Passo 7
Interpretação final e dica prática para prova: o limite existe para todo
e o valor é
. Isso é exatamente a derivada de
. Uma verificação rápida: se quiser o valor da derivada em um ponto, por exemplo em
, basta substituir:
. Mais geral, esse cálculo ilustra por que a regra do poder vale: para
a derivada é
(pode ser obtida expandindo
e dividindo por
).