Questão 21) Analise a continuidade das funções abaixo nos seus domínios:
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{2-x}{2-|x|}, & x \neq 2 \\\\ 1, & x=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{2-x}{2-|x|}, & x\neq 2,\\[6pt] 1, & x=2. \end{cases}
O que se pede: analisar a continuidade de f nos pontos do seu domínio.
Informações relevantes do enunciado:
  • A fórmula \dfrac{2-x}{2-|x|} vale para todos os x com x\neq 2.
  • Há um valor explícito em x=2: f(2)=1.
  • É necessário verificar onde a expressão da parte fracionária está bem definida (denominador não nulo), pois pontos onde a função não está definida não fazem parte do domínio.]

Passo 2

Determinar o domínio (onde a função está realmente definida).
A parte fracionária tem denominador 2-|x|. Esse denominador é zero quando
2-|x|=0 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|=2 \quad\Longleftrightarrow\quad x=2\\ \text{ou}\\ x=-2.
  • Para x=2 o enunciado fornece um valor separado f(2)=1, então x=2 pertence ao domínio (a definição remove a indeterminação neste ponto).
  • Para x=-2 não há definição alternativa no enunciado; a fórmula da parte fracionária não é válida porque divide por zero. Logo x=-2 NÃO pertence ao domínio.
Portanto o domínio é
\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{-2\}.

Passo 3

Analisar continuidade para x\in\mathcal{D} com x\neq 2 (ou seja, todos os pontos do domínio diferentes de 2).
Observação útil sobre o valor de |x|:
  • Se x>0 então |x|=x.
  • Se x<0 então |x|=-x.
Para x>0 e x\neq 2 (portanto 0<x<2 ou x>2):
\frac{2-x}{2-|x|}=\frac{2-x}{2-x}=1.
Assim, para todo x>0 com x\neq 2 a função vale exatamente 1. Uma função constante é contínua; logo f é contínua em todo ponto positivo do domínio.
Para x<0:
\frac{2-x}{2-|x|}=\frac{2-x}{2-(-x)}=\frac{2-x}{2+x}.
Essa é uma razão de funções polinomiais (racionais); tais funções são contínuas onde o denominador é não nulo. Para x<0 o denominador 2+x só seria zero em x=-2, que já foi excluído do domínio. Portanto a expressão \dfrac{2-x}{2+x} é contínua em todo x<0 do domínio.
Conclusão parcial: em todo ponto do domínio com x\neq 2 a função é contínua (pois é constante igual a 1 para x>0 e é racional contínua para x<0).

Passo 4

Analisar continuidade em x=2 (ponto que está no domínio por definição separada).
Para verificar continuidade em x=2 precisamos calcular o limite \lim_{x\to 2} f(x) e comparar com f(2).
Ao aproximar x de 2 (valores próximos a 2 são positivos), tem-se |x|=x. Assim, para x próximos de 2 com x\neq 2,
f(x)=\frac{2-x}{2-|x|}=\frac{2-x}{2-x}=1.
Portanto
\lim_{x\to 2} f(x)=1.
Como o valor dado é f(2)=1, o limite coincide com o valor da função: f é contínua em x=2.

Passo 5

Resumo das verificações e interpretação prática (para fazer na prova):
  • Primeiro, verificar onde o denominador anula-se: 2-|x|=0 em x=\pm 2. Se o enunciado der um valor separado num desses pontos (aqui somente em x=2), incluir esse ponto no domínio; caso contrário excluí-lo (aqui x=-2 é excluído).
  • Para x>0 simplificar |x|=x e ver que a expressão reduz a 1, mostrando continuidade (constante).
  • Para x<0 simplificar |x|=-x e obter uma função racional \dfrac{2-x}{2+x}, contínua onde 2+x\neq0 (já excluído x=-2).
  • Em pontos onde a expressão vale a mesma fórmula das vizinhanças, usar limite direto; em x=2 fazer essa observação e verificar que o limite existe e é igual a 1.

Resposta

A função é contínua em todo o seu domínio \mathbb{R}\setminus\{-2\}.

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