Questão 14: Utilize a definição para verificar se o vetor é combinação linear dos vetores e .
Passo 1
O enunciado nos dá os vetores , e e pede que usemos a definição de combinação linear para verificar se pertence ao subespaço gerado por e . O conteúdo da matéria é combinação linear e solução de sistemas lineares.
Passo 2
Um vetor é combinação linear de e se existem escalares e tais que
Traduzindo isso em equações pelas componentes, obtemos três equações lineares.
Passo 3
Montamos o sistema
Passo 4
Resolvendo as duas primeiras equações para alpha e beta: subtraindo a primeira da segunda,
(alpha + 3beta) - (alpha + beta) = 2 - 1
resulta em
2beta = 1 implies beta = tfrac12,
e então
alpha = 1 - beta = tfrac12
Passo 5
Verificamos a terceira equação com alpha = tfrac12 e beta = tfrac12: