Questão 14: Utilize a definição para verificar se o vetor v=(1,2,-3) é combinação linear dos vetores v1=(1,1,1) e v2=(1,3,-2).

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores v=(1,2,-3), v1=(1,1,1) e v2=(1,3,-2) e pede que usemos a definição de combinação linear para verificar se v pertence ao subespaço gerado por v1 e v2. O conteúdo da matéria é combinação linear e solução de sistemas lineares.

Passo 2

Um vetor v é combinação linear de v1 e v2 se existem escalares alpha e beta tais que
alpha,v1 + beta,v2 = v
Traduzindo isso em equações pelas componentes, obtemos três equações lineares.

Passo 3

Montamos o sistema
alpha + beta = 1, alpha + 3beta = 2, alpha - 2beta = -3

Passo 4

Resolvendo as duas primeiras equações para alpha e beta: subtraindo a primeira da segunda,
(alpha + 3beta) - (alpha + beta) = 2 - 1
resulta em
2beta = 1 implies beta = tfrac12,
e então
alpha = 1 - beta = tfrac12

Passo 5

Verificamos a terceira equação com alpha = tfrac12 e beta = tfrac12:
alpha - 2beta = tfrac12 - 2cdottfrac12 = -tfrac12 neq -3
Como não satisfaz a terceira equação, o sistema é inconsistente e não há solução.

Resposta

O vetor v não é combinação linear de v1 e v2.

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