Questão 16: Considere as matrizes A e B tais que
A=(ll 1 & 0 1 & 1 0 & 1 ) e B A=(ll 2 & 1 1 & 2 )
a. Quais devem ser as dimensões (quantas linhas e quantas colunas) da matriz B ?
b. Determine todas as possíveis matrizes B.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz
A=1&01&10&1
de dimensão 3times2 e pede:
(a) a dimensão de B para que o produto BA exista e seja 2times2;
(b) todas as matrizes B tais que
BA=2&11&2
O conteúdo envolve regras de dimensão no produto de matrizes e solução de sistemas lineares.

Passo 2

Para que BA esteja definido, o número de colunas de B deve igualar o número de linhas de A. Como A é 3times2, B deve ter 3 colunas. E, como o resultado BA é 2times2, B deve ter 2 linhas. Logo,
B é 2times3 é

Passo 3

Escrevemos
então as colunas de são e . No produto a primeira coluna é
e a segunda coluna é
Queremos
ou seja, o sistema

Passo 4

Cada um desses pequenos sistemas tem 3 incógnitas e 2 equações, logo um grau de liberdade.
Para a primeira linha introduzimos t=y. Daí
x=2-t, z=1-t
Para a segunda linha introduzimos s=v. Daí
u=1-s, w=2-s

Passo 5

Substituindo, a forma geral de B é
B= 2-t & t & 1-t 1-s & s & 2-s ,
onde t e s são parâmetros reais livres.

Resposta

(a) B deve ter dimensão 2times3.
(b)
B= 2-t & t & 1-t 1-s & s & 2-s , t,sinR

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