Questão 13: A frequência funcional n de uma corda esticada é uma função do comprimento da corda L, seu diâmetro D, da massa específica e da força de tração aplicada T. Sugira um conjunto de parâmetros relativos a essas variáveis. Para esse caso, escolha como variáveis repetidas: n, d e massa específica.
Resposta: f_{1}=\frac{L}{D} e f_{2}=\frac{T}{n^{2} \rho L^{4}}

Passo 1

O enunciado diz que a frequência funcional \,n, de uma corda esticada depende de cinco variáveis: o comprimento \,L, o diâmetro \,D, a massa específica \,\rho e a força de tração \,T. Vamos usar o Teorema de Buckingham para encontrar dois parâmetros adimensionais (π-grupos), escolhendo como variáveis repetidas \,n, \,D e \,\rho.

Passo 2

Primeiro, anotamos as dimensões básicas de cada variável nas grandezas fundamentais Massa (M), Comprimento (L) e Tempo (T): \,n:[T^{-1}], \,D:[L], \,\rho:[M\,L^{-3}], \,L:[L], \,T:[M\,L\,T^{-2}].

Passo 3

Para o primeiro grupo \pi_{1} vamos usar apenas \,L e as três variáveis repetidas. Escrevemos
\pi_{1}=L^{a}\,D^{b}\,n^{c}\,\rho^{d}
e exigimos que seja adimensional. Isso dá o sistema
– em M: -d=0 d=0,
– em T: -c=0 c=0,
– em L: a+b=0.
Escolhendo a=1 e b=-1 obtemos
\pi_{1}=\frac{L}{D}.

Passo 4

Para o segundo grupo \pi_{2} incluímos a força de tração \,T junto às variáveis repetidas:
\pi_{2}=T^{a}\,D^{b}\,n^{c}\,\rho^{d}\,L^{e}.
Exigindo adimensionalidade, montamos o sistema de expoentes:
– em M: 1 + d = 0 d=-1,
– em T: -2 +(-c)=0 c=-2,
– em L: 1 + b -3d + e =0 1 + b +3 + e =0 b + e = -4.
Podemos escolher b=0 (para eliminar D), ficando e=-4. Logo
\pi_{2} = T^{1}\,n^{-2}\,\rho^{-1}\,L^{-4} = \frac{T}{n^{2}\,\rho\,L^{4}}.

Resposta

f_{1} = \dfrac{L}{D} f_{2} = \dfrac{T}{n^{2}\,\rho\,L^{4}}

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