Questão 15 (Mack - SP)
Sejam os números complexos z_{2}=3 i e \mathrm{z}_{1} \cdot \mathrm{z}_{2}=-9+6 \mathrm{i}. Então \mathrm{z}_{1}+\mathrm{z}_{2} vale:
a) 2+6 i
b) 2-6 \mathrm{i}
c) -3+3 i
d) -3-3 \mathrm{i}
e) 9 i

Passo 1

O enunciado dá duas informações: z_{2}=3\,i e z_{1}\cdot z_{2}=-9+6\,i. A pergunta é: quanto vale z_{1}+z_{2}?\n
Informações relevantes listadas:
  • z_{2}=3\,i.
  • z_{1}\cdot z_{2}=-9+6\,i.
  • Queremos calcular z_{1}+z_{2}.

Passo 2

Primeiro passo prático: isolar z_{1} a partir da igualdade do produto. Como z_{1}\cdot z_{2}=-9+6\,i e z_{2}=3\,i, temos
z_{1}=\frac{-9+6\,i}{3\,i}.
Isto é simplesmente dividir ambos os lados da igualdade por z_{2}.

Passo 3

Agora vamos calcular \frac{-9+6\,i}{3\,i} passo a passo. É útil separar a fração em duas parcelas:
\frac{-9+6\,i}{3\,i}=\frac{-9}{3\,i}+\frac{6\,i}{3\,i}.
Calcule cada parcela: \frac{6\,i}{3\,i}=2. A outra é \frac{-9}{3\,i}=\frac{-3}{i}. Logo
z_{1}=\frac{-3}{i}+2.

Passo 4

Precisamos simplificar \frac{1}{i}. Lembra que i^{2}=-1. Então
\frac{1}{i}=\frac{1}{i}\cdot\frac{i}{i}=\frac{i}{i^{2}}=\frac{i}{-1}=-i.
Portanto \frac{1}{i}=-i. Usando isso,
\frac{-3}{i}=-3\cdot\frac{1}{i}=-3\cdot(-i)=3\,i.

Passo 5

Substituindo na expressão de z_{1} obtemos
z_{1}=3\,i+2=2+3\,i.
Aqui convém lembrar: escrevemos o número complexo na forma a+bi, com a parte real e b parte imaginária.

Passo 6

Agora somamos z_{1} e z_{2}. Sabendo que z_{1}=2+3\,i e z_{2}=3\,i,
z_{1}+z_{2}=(2+3\,i)+3\,i=2+(3\,i+3\,i)=2+6\,i.
Ao somar complexos, somamos as partes reais e as partes imaginárias separadamente.

Passo 7

Comparando com as alternativas do enunciado, a opção que corresponde a 2+6\,i é a letra (a).

Resposta

a) 2+6\,i

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