Questão 15. Quinze operários constroem uma casa em 6 meses. Em quanto tempo vinte operários seriam capazes de construir a mesma casa?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Temos
operários que constroem a casa em meses. - Queremos saber em quanto tempo
operários construiriam a mesma casa.
Informação importante: a casa é a mesma em ambos os casos, ou seja, a quantidade total de trabalho necessária para concluí‑la não muda.
Passo 2
Vamos modelar o problema com uma ideia intuitiva e simples: cada operário realiza uma certa quantidade de trabalho por unidade de tempo (por mês, por exemplo). Se todos trabalham com a mesma eficiência, então a quantidade de trabalho realizada é proporcional ao número de operários multiplicado pelo tempo de trabalho.
Definimos:
= trabalho total necessário para construir a casa (uma constante).
= trabalho realizado por um operário por mês (taxa de trabalho por operário).
= número de operários.
= tempo em meses.
Com essas variáveis, o trabalho realizado é
Passo 3
Escrevemos a equação para o primeiro cenário (os dados do enunciado):
- Com
e ,
Eu usei os números do enunciado:
operários e
meses.
Passo 4
Escrevemos a equação para o segundo cenário (o que queremos achar):
- Com
e tempo desconhecido ,
Aqui eu troquei o número de operários para
e mantive a mesma
e a mesma taxa
.
Passo 5
Como é a mesma casa, o trabalho total
é igual nas duas equações. Igualamos as expressões e resolvemos para
:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
(assumindo
, o que faz sentido porque os operários trabalham):
Agora resolvemos para
:
Calculando passo a passo:
, então
Logo,
meses.
Passo 6
Interpretação final e forma prática:
-
meses significa meses e metade de um mês. - Se considerarmos um mês com
dias, metade de um mês é dias, então isso equivale a meses e dias.
Dica rápida para prova (truque mental): como a quantidade de trabalho é inversamente proporcional ao número de operários, você pode usar a regra de três inversa ou pensar assim: mais operários → menos tempo, e
. Multiplica‑se o número de operários pelo tempo e o produto permanece constante:
.