Questão 15. Quinze operários constroem uma casa em 6 meses. Em quanto tempo vinte operários seriam capazes de construir a mesma casa?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Temos \,15\, operários que constroem a casa em \,6\, meses.
  • Queremos saber em quanto tempo \,20\, operários construiriam a mesma casa.
Informação importante: a casa é a mesma em ambos os casos, ou seja, a quantidade total de trabalho necessária para concluí‑la não muda.

Passo 2

Vamos modelar o problema com uma ideia intuitiva e simples: cada operário realiza uma certa quantidade de trabalho por unidade de tempo (por mês, por exemplo). Se todos trabalham com a mesma eficiência, então a quantidade de trabalho realizada é proporcional ao número de operários multiplicado pelo tempo de trabalho.
Definimos:
W
= trabalho total necessário para construir a casa (uma constante).
r
= trabalho realizado por um operário por mês (taxa de trabalho por operário).
n
= número de operários.
t
= tempo em meses.
Com essas variáveis, o trabalho realizado é
\text{trabalho realizado} = n\cdot r\cdot t.

Passo 3

Escrevemos a equação para o primeiro cenário (os dados do enunciado):
  • Com n=15 e t=6,
W = 15\cdot r\cdot 6.
Eu usei os números do enunciado: \,15\, operários e \,6\, meses.

Passo 4

Escrevemos a equação para o segundo cenário (o que queremos achar):
  • Com n=20 e tempo desconhecido t,
W = 20\cdot r\cdot t.
Aqui eu troquei o número de operários para \,20\, e mantive a mesma W e a mesma taxa r.

Passo 5

Como é a mesma casa, o trabalho total W é igual nas duas equações. Igualamos as expressões e resolvemos para t:
15\cdot r\cdot 6 = 20\cdot r\cdot t.
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por r (assumindo r\neq0, o que faz sentido porque os operários trabalham):
15\cdot 6 = 20\cdot t.
Agora resolvemos para t:
t = \frac{15\cdot 6}{20}.
Calculando passo a passo: \,15\cdot 6 = 90\,, então
t = \frac{90}{20} = \frac{9}{2} = 4,5.
Logo, t = 4,5 meses.

Passo 6

Interpretação final e forma prática:
  • 4,5 meses significa 4 meses e metade de um mês.
  • Se considerarmos um mês com 30 dias, metade de um mês é 15 dias, então isso equivale a 4 meses e 15 dias.
Dica rápida para prova (truque mental): como a quantidade de trabalho é inversamente proporcional ao número de operários, você pode usar a regra de três inversa ou pensar assim: mais operários → menos tempo, e \,t\propto 1/n\,. Multiplica‑se o número de operários pelo tempo e o produto permanece constante: 15\cdot6 = 20\cdot t.

Resposta

4,5 meses
4 meses e 15 dias (considerando mês de 30 dias)

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