Questão 13 . Obtenha todas as matrizes B que comutam com
A=[rr 1 & -1 3 & 0 ]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as matrizes BinR^2times 2 que comutam com
A = 1 & -1[6pt]3 & 0,
isto é, todas as B tais que
AB = BA
O conteúdo aqui é a definição de comutatividade de matrizes e a resolução via sistemas lineares nas entradas de B.]

Passo 2

Suponha
B = a & b[4pt]c & d
Vamos calcular AB e BA.
AB = 1 & -1[4pt]3 & 0 a & b[4pt]c & d = a - c & b - d[4pt]3a & 3b,
BA = a & b[4pt]c & d 1 & -1[4pt]3 & 0 = a + 3b & -a[4pt]c + 3d & -c ]

Passo 3

Igualando AB = BA entrada a entrada, obtemos o sistema:
a - c = a + 3b,[4pt] b - d = -a,[4pt] 3a = c + 3d,[4pt] 3b = -c
Das duas primeiras equações vem
-c = 3bimplies c = -3b, b - d = -aimplies d = a + b
As duas últimas equações são consequências dessas condições e não impõem restrições extras.]

Passo 4

Concluímos que os únicos B que comutam com A têm as entradas sujeitas a
c = -3b e d = a + b,
com a,binR. Portanto
B = a & b[4pt] -3b & a + b ,
onde a e b são parâmetros reais livres.]

Resposta

Todos os 2times2 que comutam com A são
boxedB = a & b -3b & a + b , a,binR

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