Questão 2: ( 6 pts ) Econtre uma base do espaço solução do sistema homôgeneo e encontre a dimensão desse espaço. Nos casos:
\left\{\begin{array}{r}2 x+z=0 \\\\ 2 x+z=0 \\\\ 2 y+2 z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a base e a dimensão do espaço solução do sistema homogêneo
\begin{cases} 2x + z = 0,\\\\ 2x + z = 0,\\\\ 2y + 2z = 0. \end{cases}
O conteúdo é resolução de sistemas lineares e parametrização do espaço nulo. Vamos usar eliminação de Gauss para encontrar as variáveis livres e expressar a solução geral.

Passo 2

Formamos a matriz de coeficientes do sistema:
A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\\\ 2 & 0 & 1\\\\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}.
Aplicamos eliminação de Gauss: subtraímos a primeira linha da segunda para zerar abaixo do pivô em x:
\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora dividimos a primeira e a terceira linha pelos seus pivôs para obter forma escalonada simples:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & \tfrac12\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Isso corresponde ao sistema
\begin{cases} x + \tfrac12\,z = 0,\\\ y + z = 0. \end{cases}

Passo 4

Identificamos que z é variável livre; chamemos z = t. Das equações:
x = -\tfrac12\,t,\quad y = -\,t.
Logo o vetor solução (x,y,z) pode ser escrito como
(x,y,z) = t\bigl(-\tfrac12,\,-1,\,1\bigr).

Passo 5

Para simplificar a base, multiplicamos o vetor gerador por -2, obtendo
(1,2,-2).
Portanto o espaço solução é gerado por esse único vetor, e sua dimensão é 1.

Resposta

Uma base do espaço solução é
\{(1,2,-2)\},
e a dimensão desse espaço é 1.

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