Use a Transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial proposto.
y^prime prime-2 y^prime-2 y=0, y(0)=2 e y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y'' - 2y' - 2y = 0,
com condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=0, usando transformada de Laplace. Vamos usar as propriedades
Ly' = sY(s)-y(0) e
Ly'' = s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0),
onde Y(s)= Ly(t).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da EDO:
Ly'' ;-;2, Ly';-;2, Ly ;=;0
Substituindo as fórmulas e y(0)=2, y'(0)=0, fica
l(s^2Y(s)-scdot2-0r) ;-;2l(sY(s)-2r);-;2Y(s)=0

Passo 3

Agrupando os termos em Y(s) e isolando, obtemos
s^2Y(s)-2s ;-;2sY(s)+4 ;-;2Y(s)=0 Longrightarrow (s^2-2s-2)Y(s)=2s-4
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Y(s)=2s-4s^2-2s-2 =2(s-2)(s-1)^2-3

Passo 4

Para inverter, fazemos frações parciais usando
(s-1)^2-3=(s-1-raiz3)(s-1+raiz3). Escrevemos
2(s-2)(s-1-raiz3)(s-1+raiz3) =As-1-raiz3+Bs-1+raiz3
Multiplicando por (s-1-raiz3)(s-1+raiz3)
2(s-2)=Al(s-1+raiz3r)+Bl(s-1-raiz3r)
Comparando coeficientes em s-1 e constantes, resolve-se
A+B=2, (A-B)raiz3=-2 Longrightarrow A=1-1raiz3,; B=1+1raiz3

Passo 5

Sabendo que
L^-1tfrac1s-a=e^at, temos
y(t) =l(1-tfrac1raiz3r)e^(1+raiz3)t +l(1+tfrac1raiz3r)e^(1-raiz3)t

Resposta

y(t) =l(1-tfrac1raiz3r)e^(1+raiz3)t +l(1+tfrac1raiz3r)e^(1-raiz3)t

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