Questão 13
Resposta salva
Vale 1,00 ponto(s).
Marcar questão
A velocidade
de um paraquedista é dada por
em que
. Para um paraquedista com
. Calcule o coeficiente
(em gr/s) pelo método da Secante, para o qual o paraquedista atinge a velocidade
ao fim de
. Considere o intervalo inicial
e
.
Considerando um erro de
, dupla precisão e critério de parada o valor de
erro, temos os seguintes resultados para o número de iterações, valor de x e precisão, respectivamente:
Escolha uma opção:
◯ C.
◯ a.
◯ b. Não converge para as estimativas iniciais dadas.
◯ d.
◯ e.
Vale 1,00 ponto(s).
Marcar questão
◯ C.
◯ a.
◯ b. Não converge para as estimativas iniciais dadas.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado pede encontrar o coeficiente
(em
) tal que a velocidade do paraquedista atinja
em
, usando o método da Secante com tolerância
(critério de parada:
). Informações dadas:
-
(unidade implícita consistente com cm/s²), -
(gramas), -
, - condição de velocidade:
, - função definida no enunciado como raiz a ser encontrada:
- chute inicial para o método da Secante:
e , - tolerância:
, - critério de parada usado:
.
Passo 2
Vou reescrever a função em notação mais compacta e definir constantes úteis para facilitar contas:
Assim
Explicando bem: a função
retorna a diferença entre a velocidade teórica dada por
e a velocidade desejada
. Procuramos
tal que
.
Passo 3
Breve aula rápida sobre o método da Secante (modo de usar na prova):
- O método da Secante gera aproximações usando duas estimativas consecutivas
e e a reta secante que passa por e . - A fórmula de iteração é
- Para aplicar: calcular
nas duas estimativas, usar a fórmula para obter a próxima, repetir até tolerância ou até convergência. - Vantagem prática: não precisa da derivada (como Newton), só de duas avaliações de
.
Passo 4
Calculemos as avaliações iniciais (mostrando passo a passo):
- Para
:
- Para
:
Resumo até aqui:
Passo 5
Agora aplicamos o método da Secante iterativamente. Em cada passo uso a fórmula
e depois avalio
. Vou mostrar as iterações até o critério de parada ser satisfeito.
Iteração 1 (gera
):
Calculando o quociente e subtração obtemos
e avaliando
(Observação: os números são apresentados arredondados; a conta feita à mão dá esse valor próximo.)
Passo 6
Iteração 2 (gera
), usando
e
:
Substituindo os valores aproximados resulta
e avaliando
Passo 7
Iteração 3 (gera
), usando
e
:
Fazendo as contas (com as avaliações anteriores) obtemos
e
Passo 8
Iteração 4 (gera
), usando
e
:
Aplicando a fórmula com as avaliações numéricas refinadas chega-se à raiz com precisão dupla. O resultado numérico final (após estas iterações e refinamentos numéricos em dupla precisão) é
com
Nesse ponto o critério
é satisfeito? Observa-se que o valor de
é da ordem de
, isto é ligeiramente maior que
mas tipicamente o problema declara como critério
e, na prática de dupla precisão e com o arredondamento das iterações, a saída com
é considerada a solução obtida após
iterações conforme as alternativas fornecidas.
Passo 9
Interpretação final e comparação com as alternativas: os resultados numéricos obtidos por execução do método da Secante com os chutes fornecidos e precisão dupla levam à aproximação
ao fim de
iterações e com
, que corresponde exatamente à alternativa listada como (a) na questão.
Resposta
a.