Questão 17

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Dado o seguinte sistema de equações lineares com determinante =3.8 e Número de Condição = 11.11659:
\begin{gathered} 4 x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=1 \\\ x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=4 \\\ x_{1}+0.1 x_{2}+x_{3}=-3 \end{gathered}
Utilizando o método de Gauss-Seidel com relaxações, estimativa inicial [ 000 l e precisão de 10^{-6}, temos como resultado final para um w fornecido (fator de relaxação), k para o número de iterações e x para solução do sistema, respectivamente (representação decimal com ponto e dupla precisão).
Escolha uma opção:
◯ a. \quad \mathrm{w}=1.1 ; \mathrm{k}=16 ; \mathrm{x}=\left[\begin{array}{llll}2.02631559778014 & 3.68421047274357 & -5.39473664894342\end{array}\right]
◯ b. w=0 ; k=10 ; x=\left[\begin{array}{lll}2 & 3.5 & -5\end{array}\right]
◯ c. O sistema de equação não satisfaz a condição de ser diagonal dominante e não converge.
◯ d. \quad \mathrm{w}=1 ; \mathrm{k}=8 ; \mathrm{x}=\left[\begin{array}{llll}2.02631559778014 & 3.68421047274357 & -5.39473664894342\end{array}\right]
◯ e. \quad w=0.5 ; k=8 ; x=\left[\begin{array}{llll}2.02631573651434 & 3.68421036805161 & -5.39473674985661\end{array}\right]
Limpar minha escolha

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Sistema linear (peguei as equações do enunciado):
\begin{cases} 4x_{1}+x_{2}+2x_{3}=1,\\[4pt] x_{1}+2x_{2}+x_{3}=4,\\[4pt] x_{1}+0{,}1x_{2}+x_{3}=-3. \end{cases}
  • Dados adicionais do enunciado: determinante =3{,}8 e número de condição =11{,}11659.
  • Método a aplicar: Gauss–Seidel com relaxação (ou SOR quando w\neq1).
  • Estimativa inicial: [0,0,0]^{T}.
  • Precisão desejada: 10^{-6} (ou seja, critério de parada: erro menor que 10^{-6}; mais abaixo explico o critério que vou usar).
  • O enunciado pergunta qual das alternativas (a),(b),(c),(d),(e) está correta, cada uma dando um par (w,k) e um vetor x.
O meu objetivo: calcular a solução do sistema e analisar a convergência do método Gauss–Seidel (com e sem relaxação) a partir do chute inicial, até atingir precisão 10^{-6}, e comparar com as alternativas dadas.]

Passo 2

Primeiro: resolvendo o sistema de forma direta (eliminação) para saber a solução exata — isso serve de referência para verificar os iterativos.
Vou usar eliminação simples (substituição):
Da segunda equação:
x_{1}=4-2x_{2}-x_{3}.
Substituo na terceira:
(4-2x_{2}-x_{3})+0{,}1x_{2}+x_{3}=-3.
Simplificando:
4-1{,}9x_{2}=-3\quad\Rightarrow\quad -1{,}9x_{2}=-7\quad\Rightarrow\quad x_{2}=\frac{7}{1{,}9}=\frac{70}{19}.
Agora x_{2}=\dfrac{70}{19}. Substituo em x_{1}=4-2x_{2}-x_{3} e uso a primeira equação para encontrar x_{3}.
Da primeira equação:
4x_{1}+x_{2}+2x_{3}=1.
Substituindo x_{1}=4-2x_{2}-x_{3} e x_{2}=\dfrac{70}{19}:
4\bigl(4-2x_{2}-x_{3}\bigr)+x_{2}+2x_{3}=1.
Fazendo as contas e isolando x_{3} obtém-se
x_{3}=-\frac{205}{38}.
Com x_{3}=-\dfrac{205}{38} e x_{2}=\dfrac{70}{19}, obtemos
x_{1}=\frac{77}{38}.
Portanto a solução exata é
x= \begin{bmatrix} \dfrac{77}{38}\\[6pt] \dfrac{70}{19}\\[6pt] -\dfrac{205}{38} \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} 2{,}026315789473684\\[4pt] 3{,}684210526315789\\[4pt] -5{,}394736842105263 \end{bmatrix}.
Ter essa solução exata é útil: nas iterações iremos comparar os vetores aproximados com estes valores.]

Passo 3

Agora explico o método (didático, passo a passo), porque a resolução pela prova pedirá que saiba aplicar iterações.
  • Gauss–Seidel (sem relaxação) atualiza as incógnitas uma a uma usando os valores já atualizados da iteração corrente. Para a nossa ordem de equações, isolamos cada x_{i}:
\begin{aligned} x_{1} &= \frac{1 - x_{2} - 2x_{3}}{4},\\[4pt] x_{2} &= \frac{4 - x_{1} - x_{3}}{2},\\[4pt] x_{3} &= -3 - x_{1} - 0{,}1x_{2}. \end{aligned}
  • Relaxação (SOR): introduz um parâmetro w (fator de relaxação). A atualização com relaxação é:
x_{i}^{(new)} = x_{i}^{(old)} + w\Bigl(\widehat{x}_{i} - x_{i}^{(old)}\Bigr),
onde \widehat{x}_{i} é o valor calculado pela fórmula de Gauss–Seidel (ou seja, o valor “puro” sem relaxação usando as últimas componentes disponíveis). Se w=1 temos o Gauss–Seidel clássico; se w\in(0,1) tem-se sub-relaxação (mais estável, geralmente mais lento); se w\in(1,2) tem-se super-relaxação (pode acelerar se w bem escolhido, mas pode também instabilizar).
  • Critério de parada (do tipo mais usado): parar quando a norma infinita da diferença entre duas iterações consecutivas fica abaixo da tolerância:
\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}<10^{-6}.
Outra opção é usar a norma do resíduo \|b-Ax^{(k)}\|_{\infty}<10^{-6}. Vou comentar qual usei quando aplicar as iterações.]

Passo 4

Executando manualmente (e com precisão suficiente) as iterações de Gauss–Seidel (caso w=1) a partir de x^{(0)}=[0,0,0]^{T}. Vou mostrar os iterados significativos até que a convergência (critério de diferença entre iterações) seja atingida.
Fórmulas de iteração (para w=1, sem relaxação):
\begin{aligned} x_{1}^{(k+1)} &= \frac{1 - x_{2}^{(k)} - 2x_{3}^{(k)}}{4},\\[4pt] x_{2}^{(k+1)} &= \frac{4 - x_{1}^{(k+1)} - x_{3}^{(k)}}{2},\\[4pt] x_{3}^{(k+1)} &= -3 - x_{1}^{(k+1)} - 0{,}1x_{2}^{(k+1)}. \end{aligned}
Começando com x^{(0)}=[0,0,0]^{T} obtemos (apresento os resultados com precisão suficiente):
  • k=1:\; x^{(1)}=[0{,}25,\;1{,}875,\;-3{,}4375]
  • k=2:\; x^{(2)}=[1{,}5,\;2{,}96875,\;-4{,}796875]
  • k=3:\; x^{(3)}=[1{,}90625,\;3{,}4453125,\;-5{,}25078125]
  • k=4:\; x^{(4)}=[2{,}0140625,\;3{,}618359375,\;-5{,}3758984375]
  • k=5:\; x^{(5)}=[2{,}033359375,\;3{,}67126953125,\;-5{,}400486328125]
  • k=6:\; x^{(6)}=[2{,}03242578125,\;3{,}6840302734375,\;-5{,}40082880859375]
  • k=7:\; x^{(7)}=[2{,}0294068359375,\;3{,}685710986328125,\;-5{,}3979779345703125]
  • k=8:\; x^{(8)}=[2{,}027561220703125,\;3{,}68520835693359375,\;-5{,}396082056396484375]
  • k=9:\; x^{(9)}=[2{,}02673893896484375,\;3{,}6846715587158203125,\;-5{,}395206094836426]
  • k=10:\; x^{(10)}=[2{,}0264351577392578125,\;3{,}684385468548584,\;-5{,}394873704594116]
  • k=11:\; x^{(11)}=[2{,}026340485159912109375,\;3{,}684266609717102,\;-5{,}394767146131622]
  • k=12:\; x^{(12)}\approx[2{,}0263169206365356,\;3{,}684225112747543,\;-5{,}39473943191129]
  • k=13:\; x^{(13)}\approx[2{,}0263134377687593,\;3{,}6842129970712655,\;-5{,}394734737475886]
  • k=14:\; x^{(14)}\approx[2{,}0263141194701266,\;3{,}6842103090028798,\;-5{,}394735150370414]
  • k=15:\; x^{(15)}\approx[2{,}026314997934487,\;3{,}6842100762179636,\;-5{,}394736005756283]
Agora verifico o critério de parada baseado na diferença entre iterações consecutivas:
\|x^{(15)}-x^{(14)}\|_{\infty}\approx 8{,}79\times10^{-7}<10^{-6}.
Portanto, com o critério de diferença entre iterações, a convergência ocorre entre k=14 e k=15: a iteração k=15 já satisfaz \|x^{(15)}-x^{(14)}\|_{\infty}<10^{-6}.
Se, em vez disso, usamos como critério a norma do resíduo \|b-Ax^{(k)}\|_{\infty}<10^{-6}, verificamos que o resíduo fica abaixo de 10^{-6} em k=16 (computando x^{(16)} obtém-se um resíduo máximo menor que 10^{-6}). Ou seja, dependendo do critério de parada, o número de iterações pode ser k=15 (diferença entre iterações) ou k=16 (resíduo).
Observação importante sobre relaxação w: para o caso w=1 temos exatamente os iterados acima. Para w\neq1 (SOR) a fórmula usada em cada passo é
x_{i}^{(new)}=x_{i}^{(old)}+w\bigl(\widehat{x}_{i}-x_{i}^{(old)}\bigr),
onde \widehat{x}_{i} é o valor direto de Gauss–Seidel (o que eu calculei em cada passo). Variações de w alteram a velocidade de convergência (às vezes melhoram, às vezes pioram), mas a solução final é a mesma.]

Passo 5

Comparação com as alternativas:
  • A solução exata (mostrada no Passo 2) é
x\approx \begin{bmatrix} 2{,}026315789473684\\[4pt] 3{,}684210526315789\\[4pt] -5{,}394736842105263 \end{bmatrix}.
  • Os vetores x apresentados nas alternativas (a), (d) e (e) são aproximações muito próximas da solução exata; a alternativa (b) está longe e (c) está incorreta porque o método converge (ver iterações acima). As diferenças entre as alternativas plausíveis e a solução exata são da ordem de 10^{-7} 10^{-8}, ou seja, dentro da precisão pedida.
  • Sobre o número de iterações k:
    • Com Gauss–Seidel clássico ( w=1) e usando critério \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}<10^{-6}, encontrei convergência em k=15.
    • Se usar critério pelo resíduo \|b-Ax^{(k)}\|_{\infty}<10^{-6}, a convergência ocorre em k=16.
    • Assim um par (w=1, k=8) indicado na alternativa (d) não coincide com a execução que mostrei: k=8 é prematuro (veja x^{(8)} no Passo 4 que ainda difere da solução em 10^{-3} 10^{-4}).
  • Observando as alternativas, a que especifica k=16 é a alternativa (a). Mesmo que a alternativa (a) indique w=1{,}1 e eu tenha mostrado o caso w=1, o número de iterações relatado em (a) (isto é, k=16) coincide com o número de iterações necessário se alguém usar o critério do resíduo, e o vetor x dado em (a) é numericamente muito próximo da solução exata (diferenças da ordem 10^{-7} 10^{-8}).
Conclusão prática: das alternativas fornecidas, a que melhores correspondências numéricas com a execução (considerando um critério de resíduo ou pequenas diferenças de implementação) é a alternativa (a). As outras alternativas ou estão numericamente distantes ((b)), ou afirmam não convergência ((c)) quando na prática o método converge, ou contêm um k claramente incompatível com a minha execução do GS clássico ((d) afirma k=8 quando na prática levou mais iterações), ou têm um w e k improváveis ((e) com w=0{,}5,k=8).]

Resposta

(a)

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