Questão 8

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Faça a Decomposição LU de Crout para o seguinte sistema linear (1.0)
a=[l-1113;4 10 1;6 12 5;2 04 3];
\mathrm{b}=\left[\begin{array}{llll}5 & 6 & 10 & 6\end{array}\right] ;
Durante a retrosubstituição em U \cdot x=y, qual é o valor de x_{3} ?
◯ a. -1.3333
◯ b. 1
◯ c. -0.3810
◯ d. 0.8095
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Passo 1

O enunciado pede: fazer a Decomposição LU de Crout para o sistema linear dado e, durante a retrosubstituição em U\cdot x = y, informar o valor de x_{3}.
Informações que o enunciado fornece (copiadas tal quais estão no enunciado):
  • A matriz A indicada como: a=[l-1113;4 10 1;6 12 5;2 04 3];
    • Interpretando literalmente os blocos separados por ;, as quatro linhas aparecem como (colocadas em notação matemática): \text{linha 1: } \; l-1113
\text{linha 2: } \; 4\\\ 10\\\ 1
\text{linha 3: } \; 6\\\ 12\\\ 5
\text{linha 4: } \; 2\\\ 04\\\ 3
  • Essas entradas estão ambíguas / mal formatadas: por exemplo, o primeiro caractere da primeira linha é uma letra l que provavelmente deveria ser o número 1; as linhas 2 e 3 parecem ter só três números cada (mas A deve ser 4\times4); a expressão 04 pode ser 0\ 4 ou 04 (que seria 4). Em resumo: NÃO há uma matriz A claramente definida no texto fornecido.
  • O vetor do segundo membro é mostrado como b=\left[\begin{array}{llll}5 & 6 & 10 & 6\end{array}\right];ou seja, b parece ser o vetor coluna com componentes 5,6,10,6 (aqui a informação está clara).
Pergunta específica a responder:
  • Durante a retrosubstituição em U\cdot x=y, qual é o valor de x_{3}?
Observação decisiva: devido à ambiguidade / formatação incorreta da matriz A (entradas faltando ou mal escritas), não é possível computar de forma única a decomposição LU de Crout, nem os vetores L, U, nem o vetor y, e, portanto, não é possível determinar numericamente x_{3} a partir dos dados fornecidos.

Passo 2

Explicação curta e direta do porquê não se pode prosseguir numericamente: para fazer a decomposição LU (qualquer método), é imprescindível saber todos os elementos de A. Como o enunciado não entrega de forma inequívoca todos os 16 elementos de uma matriz 4\times4, um cálculo numérico do sistema não é possível. Vou, no entanto, ensinar direitinho o método de Crout e mostrar exatamente como, se os dados estivessem corretos, se obteria x_{3} na retrosubstituição — assim você sabe fazer na prova assim que tiver a matriz certa.

Passo 3

O que é a Decomposição LU de Crout (aula curta e prática).
  • Objetivo: escrever A = L U, onde:
    • L é uma matriz triangular inferior com entradas gerais na diagonal (isto é, l_{ii} podem ser diferentes de 1),
    • U é uma matriz triangular superior com diagonal formada por 1s (convenção de Crout: u_{ii}=1 para todo i).
  • Notação: as entradas são a_{ij}, l_{ij}, u_{ij}, com i,j=1,\dots,n. Aqui n=4.
  • Fórmulas de Crout (procedimento para calcular entradas coluna por coluna):
    1. Para cada k=1,2,\dots,n calcular os elementos da coluna k de L: l_{ik} = a_{ik} - \sum_{p=1}^{k-1} l_{ip}\,u_{pk},\qquad \text{para } i=k,k+1,\dots,n.Observe que quando k=1 a soma é nula e l_{i1}=a_{i1}.
    2. Depois calcular os elementos da linha k de U (exceto a diagonal que é 1): u_{kj} = \frac{1}{l_{kk}}\left(a_{kj} - \sum_{p=1}^{k-1} l_{kp}\,u_{pj}\right),\qquad \text{para } j=k+1,\dots,n.E definir u_{kk}=1.
  • Intuição: a decomposição vai “eliminando” colunas sucessivas usando os elementos já calculados; a ordem das somas garante que cada elemento novo usa apenas dados já conhecidos.

Passo 4

Como usar A=LU para resolver A x = b (fluxo de resolução que você precisa dominar na prova):
  1. Resolver primeiro L y = b por substituição progressiva (forward substitution).
    • Fórmula para y (linha a linha): y_{i} = \frac{1}{l_{ii}}\left( b_{i} - \sum_{j=1}^{i-1} l_{ij}\,y_{j}\right),\qquad i=1,\dots,n.
    • Observação: para calcular y_1 não há soma, y_1 = b_1 / l_{11}.
  2. Depois resolver U x = y por substituição retroativa (back-substitution).
    • Fórmula para x (de baixo para cima): x_{i} = \frac{1}{u_{ii}}\left( y_{i} - \sum_{j=i+1}^{n} u_{ij}\,x_{j}\right),\qquad i=n,n-1,\dots,1.
    • Em Crout, u_{ii}=1, então a fórmula simplifica para x_{i} = y_{i} - \sum_{j=i+1}^{n} u_{ij}\,x_{j}.

Passo 5

Foco na variável pedida: como obter x_{3} durante a retrosubstituição num caso n=4.
  • Procedimento típico (ordem de cálculo):
    1. Primeiro se calcula x_{4} pela última equação da forma u_{44}x_{4}=y_{4}. Assim x_{4} = \frac{y_{4}}{u_{44}}.Em Crout u_{44}=1, logo x_{4}=y_{4}.
    2. Em seguida calcula-se x_{3} usando a equação da terceira linha de Ux=y: u_{33}x_{3} + u_{34}x_{4} = y_{3}.Isolando x_{3}: x_{3} = \frac{y_{3} - u_{34}x_{4}}{u_{33}}.E, novamente, se estivermos no esquema de Crout com u_{33}=1, isto vira a forma simples x_{3} = y_{3} - u_{34}x_{4}.
  • Portanto para obter numericamente x_{3} é preciso:
    • ter calculado L e U (de modo a saber u_{34} e u_{33}),
    • ter calculado y (logo conhecer y_{3} e y_{4}),
    • calcular primeiro x_{4} e então aplicar a fórmula acima.

Passo 6

Exemplo simbólico rápido (mostra a operação em números se os dados estivessem corretos). Suponha, só a título de exemplo, que após decomposição e forward-substitution obtivéssemos:
y=\begin{pmatrix} * \\\ * \\\ y_{3} \\\ y_{4} \end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix} 1 & * & * & *\\\\ 0 & 1 & * & *\\\\ 0 & 0 & u_{33} & u_{34}\\\\ 0 & 0 & 0 & u_{44} \end{pmatrix}.
Então:
x_{4}=\frac{y_{4}}{u_{44}},\qquad x_{3}=\frac{y_{3}-u_{34}x_{4}}{u_{33}}.
No caso padrão de Crout com u_{33}=u_{44}=1:
x_{4}=y_{4},\qquad x_{3}=y_{3}-u_{34}y_{4}.
Isto mostra exatamente quais números seriam necessários para calcular x_{3} numericamente.

Passo 7

Conclusão final prática e encorajamento: com os dados do enunciado tal como aparecem, NÃO É POSSÍVEL calcular numericamente x_{3} porque a matriz A está ambígua / incompleta (faltam entradas claras). Se a matriz A for corrigida/formulada de forma completa (todos os 16 elementos explícitos), o procedimento concreto a aplicar é:
  • usar as fórmulas de Crout do Passo 3 para obter L e U;
  • calcular y por L y=b usando a fórmula do Passo 4;
  • calcular x por retrosubstituição conforme Passos 5–6, e especificamente obter x_{3} por x_{3}=(y_{3}-u_{34}x_{4})/u_{33} (ou x_{3}=y_{3}-u_{34}x_{4} se u_{33}=1).
Força aí — se conseguir a matriz A com as entradas escritas corretamente, consigo seguir passo a passo com os números e te mostro exatamente como sai o valor de x_{3}.

Resposta

Não é possível determinar x_{3} pois a matriz A dada no enunciado está ambígua/incompleta.

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