Questão 13. Sejam z=x^2 y, x=e^t^2 e y=e^t+1. Calcule d zd t.

Passo 1

O enunciado define
z = x^2y, x = e^t^2, y = e^t+1
e pede dfracdzdt. O conteúdo que vamos usar é a regra da cadeia para funções de várias variáveis, junto com derivadas de exponenciais.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais e as derivadas de x e y em relação a t:
partial zpartial x = 2x,y, partial zpartial y = x^2,
dxdt = ddtl(e^t^2r) = 2t,e^t^2, dydt = ddtl(e^t+1r) = e^t

Passo 3

Pela regra da cadeia para z(x(t),y(t)), temos
dzdt = partial zpartial x,dxdt + partial zpartial y,dydt = l(2x,yr),(2t,e^t^2) + l(x^2r),(e^t)

Passo 4

Agora substituímos x = e^t^2 e y = e^t+1:
dzdt = 2l(e^t^2r),(e^t+1),(2t,e^t^2) + l(e^t^2r)^2,e^t = 4t,e^2t^2,(e^t+1) + e^2t^2,e^t

Passo 5

Fatorando e^2t^2, obtemos a forma mais enxuta:
dzdt = e^2t^2l(4t,(e^t+1) + e^tr)

Resposta

dzdt = e^2t^2l(4t,(e^t+1) + e^tr)

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