Resolva as seguintes equaテァテオes diferenciais de Euler.
t^2 y^prime prime(t)-20 y(t)=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de Euler
t^2y''(t)-20y(t)=0
e pede a solução geral. Para resolver, vamos usar o método de tentar uma solução da forma y(t)=t^r.

Passo 2

Supondo y(t)=t^r, temos
y'(t)=r,t^r-1, y''(t)=r(r-1),t^r-2
Substituindo na EDO:
t^2l[r(r-1)t^r-2r]-20,t^r=0 Longrightarrow r(r-1)t^r-20t^r=0
Como t^rneq0 para tneq0, obtemos a equação característica
r(r-1)-20=0

Passo 3

A equação característica é
r^2-r-20=0
Pela fórmula de Bhaskara,
r=1pmraiz1+802 =1pm92,
logo as raízes são
r1=5, r2=-4

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO de Euler é
y(t)=C1t^r1+C2t^r2=C1t^5+C2t^-4,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(t)=C1t^5+C2t^-4

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