Questão 13. Utilize o método de Gauss-Jordan e verifique se a matriz M é inversível, se possível, exiba M^-1.
M=(ccc 1 & 0 & -1 1 & 4 & 1 -2 & 0 & 1 )

Passo 1

O enunciado pede verificar se a matriz M é inversível e, em caso afirmativo, encontrar M^-1 usando o método de Gauss–Jordan. O conteúdo envolve montar a matriz aumentada [Mmid I] e aplicar operações elementares para reduzir M à identidade.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e zeramos os elementos abaixo do pivô na primeira coluna. Começamos com
[ M mid I ] = [ccc|ccc 1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 1 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 -2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 ]
Subtraímos a linha 1 da linha 2 e somamos 2 vezes a linha 1 à linha 3:
ccc|ccc 1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 0 & 4 & 2 & -1 & 1 & 0 0 & 0 & -1 & 2 & 0 & 1

Passo 3

Obtemos o pivô 1 na segunda linha dividindo-a por 4 e, em seguida, eliminamos outros elementos na coluna 2. Fazendo
R2 14R2,
temos
[ccc|ccc 1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & tfrac12 & -tfrac14 & tfrac14 & 0 0 & 0 & -1 & 2 & 0 & 1 ]
Não há outros elementos não nulos na coluna 2 para zerar.

Passo 4

Obtemos o pivô 1 na terceira linha dividindo-a por -1 e zeramos os elementos acima na coluna 3. Primeiro:
R3 -1cdot R3
leva a
[ccc|ccc 1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & tfrac12 & -tfrac14 & tfrac14 & 0 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & -1 ]
Depois:
R1 R1 + R3,
R2 R2 - tfrac12 R3
resultam em
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 & tfrac34 & tfrac14 & tfrac12 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & -1 ],
que mostra [Imid M^-1].

Resposta

M^-1 = -1 & 0 & -1 tfrac34 & tfrac14 & tfrac12 -2 & 0 & -1 .

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