Questão 17. Sejam A e B matrizes n times n invertíveis, tais que I dn-A B é invertível. Verifique se vale
(I dn-B A)^-1=I dn+B(I dn-A B)^-1 A

Passo 1

O enunciado diz que A e B são matrizes ntimes n invertíveis e que Idn - AB é invertível. Ele pede para mostrar que também Idn - BA é invertível e que
(Idn - BA)^-1 =Idn + B,(Idn - AB)^-1A
O conteúdo aqui é álgebra de matrizes: usamos a definição de inverso (produto com a matriz original dá a identidade) e propriedades de fatoração.

Passo 2

Vamos verificar que
(Idn - BA)l(Idn + B(Idn - AB)^-1Ar) =Idn
Expandindo o produto, sem misturar texto na mesma linha da fórmula, obtemos
(Idn - BA)(Idn + B(Idn - AB)^-1A) =Idn - BA + B(Idn - AB)^-1A - BA,B(Idn - AB)^-1A

Passo 3

Note que
B(Idn - AB) = B - BA,B,
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B(Idn - AB)(Idn - AB)^-1A = (B - BA,B)(Idn - AB)^-1A = BA
Substituindo esse resultado na expansão do passo anterior, o produto fica
Idn - BA + BA = Idn
Como encontramos um inverso à esquerda de Idn - BA e estamos em matriz quadrada, esse inverso é também o inverso à direita.

Resposta

A identidade vale, ou seja,
(Idn - BA)^-1 =Idn + B,(Idn - AB)^-1A

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