Questão 24 (Secretaria Municipal da Saúde/2005)

Emumarmazém, há certo número de caixas de um determinado produto, todas adquiridas do fabricante em uma mesma data. Foi recebido um comunicado do fabricante, avisando que 20% das caixas expedidas naquela data apresentavam problemas: nessas caixas, 30% das unidades do produto estavam defeituosas, contra 1 % nas caixas comuns. Uma das caixas do depósito e uma de suas unidades, escolhidas ao acaso, foram abertas para serem examinadas. Constatando-se que a unidade é defeituosa, qual é a probabilidade de que a caixa examinada seja uma das caixas com problemas?
(A) 0,50
(B) 0,60
(C) 0,72
(D) 0,80
(E) 0,88

Passo 1

Beleza, vamos resumir rapidinho o que a questão tá pedindo. A gente tem um monte de caixas num depósito de um produto: 20% delas são “problemáticas” (nessas, 30% das unidades vêm defeituosas) e as outras 80% são caixas normais (com só 1% de defeito). Aí sorteiam uma caixa e, dentro dela, uma unidade, e deu defeito. A pergunta é: qual a chance de essa caixa ser justamente uma daquelas problemáticas?
Matéria: probabilidade condicional e Teorema de Bayes. Vamos precisar definir eventos, usar a probabilidade total pra achar a chance de pegar um item defeituoso e depois aplicar Bayes pra inverter a condição.

Passo 2

Definindo eventos e dados:
Seja
A = “a caixa sorteada é problemática”
Aᶜ = “a caixa sorteada é normal”
B = “a unidade sorteada está defeituosa”
Do enunciado:
P(A) = 0.2
P(Aᶜ) = 0.8
P(B|A) = 0.3
P(B|Aᶜ) = 0.01

Passo 3

Agora a gente calcula P(B), a chance de tirar um item defeituoso (lei da probabilidade total):
P(B) = P(B|A),P(A) ;+; P(B|Aᶜ),P(Aᶜ) = 0.3cdot0.2 ;+; 0.01cdot0.8 = 0.06 ;+; 0.008 = 0.068

Passo 4

Por fim, aplicamos o Teorema de Bayes pra achar P(A|B), ou seja, sendo o item defeituoso, qual a chance de a caixa ser problemática:
P(A|B) ;=; P(B|A),P(A)P(B) ;=; 0.3cdot0.20.068 ;=; 0.060.068 approx 0.88235

Resposta

A probabilidade de a caixa ser problemática é de aproximadamente boxed0,88 (88%), opção E.

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