• Questão 14. Calcule as derivadas das funções abaixo
    g(x)=raiz[3]xln (x^2-2 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(x)=raiz[3]xlnl(x^2-2xr)
O conteúdo que vamos usar inclui: regra do quociente, derivada de potência raiz[3]x=x^1/3, e derivada de ln(cdot) por meio da regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevemos
g(x)=u(x)v(x),
onde
u(x)=x^1/3, v(x)=lnl(x^2-2xr)

Passo 3

Pela regra do quociente,
g'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2

Passo 4

Calculamos u'(x). Como u(x)=x^1/3,
u'(x)=13x^-2/3

Passo 5

Agora v'(x). Escrevemos v(x)=lnl(w(x)r) com w(x)=x^2-2x. Então
w'(x)=2x-2 e v'(x)=w'(x)w(x) =2x-2x^2-2x

Passo 6

Substituindo em g'(x):
g'(x) =13x^-2/3,lnl(x^2-2xr) -;x^1/3,2x-2x^2-2x ln^2l(x^2-2xr)
No segundo termo do numerador, observe que
x^1/3,2x-2x^2-2x =2(x-1),x^1/3x(x-2) =2(x-1),x^-2/3x-2

Passo 7

Fatorando x^-2/3 no numerador e escrevendo sobre o mesmo denominador, obtemos
g'(x) =x^-2/3ln^2l(x^2-2xr) gl[13,lnl(x^2-2xr) -2(x-1)x-2gr]
Para deixar mais compacto,
g'(x) =x^-2/33,ln^2l(x^2-2xr) l[lnl(x^2-2xr) -6(x-1)x-2r]

Resposta

g'(x) =x^-2/33,ln^2l(x^2-2xr) l[lnl(x^2-2xr) -6(x-1)x-2r]

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