Questão 14. Calcule frac{d y}{d x} :
y=-5 x^{12}

Passo 1

O enunciado dá a função y em termos de x e pede a sua derivada em relação a x. Informações fornecidas:
  • y = -5 x^{12}.
    O que se pede:
  • Calcular \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

O que significa derivar aqui (uma rápida intuição): \dfrac{dy}{dx} é a taxa de variação de y quando x muda — geometricamente, a inclinação da reta tangente ao gráfico de y em cada ponto x. Formalmente, a derivada é definida por
\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to 0}\frac{y(x+h)-y(x)}{h},
onde h é um pequeno incremento em x. Nesta questão vamos usar regras de derivação que já resumem esse limite para funções polinomiais, o que torna o cálculo rápido e adequado para prova.

Passo 3

Regras que vamos usar (explicadas devagar):
  1. Regra do fator constante: se c é uma constante e f(x) é uma função, então
\frac{d}{dx}\bigl(c\cdot f(x)\bigr)=c\cdot\frac{d}{dx}f(x).
Isto diz que podemos “puxar” constantes para fora da derivada.
  1. Regra do expoente (power rule): para qualquer expoente inteiro n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
Aqui n é o expoente (neste problema n=12). A ideia: para derivar x^{n}, multiplica-se pelo expoente e diminui-se o expoente em 1.
Vou aplicar essas duas regras ao nosso y.

Passo 4

Aplicando a regra do expoente primeiro à parte x^{12}:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{12}\bigr)=12\,x^{11}.
Explicação concreta: o expoente 12 “desce” multiplicando a potência, e o novo expoente fica 12-1=11.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do fator constante: a função é -5 vezes x^{12}, então
\frac{d}{dx}\bigl(-5x^{12}\bigr)=-5\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{12}\bigr).
Substituindo o resultado do passo anterior:
\frac{d}{dx}\bigl(-5x^{12}\bigr)=-5\cdot\bigl(12\,x^{11}\bigr).
Fazendo a multiplicação entre constantes:
-5\cdot 12 = -60,
portanto a expressão fica -60\,x^{11}.

Passo 6

Pequena checagem rápida para entender: a derivada em x=1 vale -60\cdot 1^{11}=-60. Isso significa que, perto de x=1, um pequeno aumento em x causa uma variação aproximada de -60 vezes esse aumento em y — ou seja, o gráfico está descendo ali com inclinação -60. Isso confirma a interpretação de taxa de variação.

Resposta

-60 x^{11}

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