Questão 14. Calcule
:
Passo 1
O enunciado dá a função
em termos de
e pede a sua derivada em relação a
. Informações fornecidas:
-
.
O que se pede: - Calcular
.
Passo 2
O que significa derivar aqui (uma rápida intuição):
é a taxa de variação de
quando
muda — geometricamente, a inclinação da reta tangente ao gráfico de
em cada ponto
. Formalmente, a derivada é definida por
onde
é um pequeno incremento em
. Nesta questão vamos usar regras de derivação que já resumem esse limite para funções polinomiais, o que torna o cálculo rápido e adequado para prova.
Passo 3
Regras que vamos usar (explicadas devagar):
- Regra do fator constante: se
é uma constante e é uma função, então
Isto diz que podemos “puxar” constantes para fora da derivada.
- Regra do expoente (power rule): para qualquer expoente inteiro
,
Aqui
é o expoente (neste problema
). A ideia: para derivar
, multiplica-se pelo expoente e diminui-se o expoente em 1.
Vou aplicar essas duas regras ao nosso
.
Passo 4
Aplicando a regra do expoente primeiro à parte
:
Explicação concreta: o expoente
“desce” multiplicando a potência, e o novo expoente fica
.
Passo 5
Agora aplicamos a regra do fator constante: a função é
vezes
, então
Substituindo o resultado do passo anterior:
Fazendo a multiplicação entre constantes:
portanto a expressão fica
.
Passo 6
Pequena checagem rápida para entender: a derivada em
vale
. Isso significa que, perto de
, um pequeno aumento em
causa uma variação aproximada de
vezes esse aumento em
— ou seja, o gráfico está descendo ali com inclinação
. Isso confirma a interpretação de taxa de variação.