Questão 14. Calcule frac{d y}{d x} :
y=2 x^{9}-3 x+2

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \dfrac{dy}{dx} da função dada.
Informações fornecidas:
y = 2x^{9} - 3x + 2.
Portanto a tarefa é diferenciar essa expressão em relação a x.

Passo 2

O que é \dfrac{dy}{dx} (intuição e definição): \dfrac{dy}{dx} mede a taxa de variação de y quando x varia — ou seja, quanto y muda para uma pequena mudança em x.
Definição em termos de limite:
\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to 0}\frac{y(x+h)-y(x)}{h}.
Aqui y(x) significa a função y avaliada no ponto x e h é uma pequena variação em x. Essa definição é a base, mas calcular limites diretos fica cansativo para polinômios; por isso usamos regras práticas (teoremas) que tornam tudo rápido.

Passo 3

Regra da linearidade (soma e constante multiplicativa):
Se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis e c é constante, então
\frac{d}{dx}\bigl(u+v\bigr)=\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}, \qquad \frac{d}{dx}\bigl(c\cdot u\bigr)=c\cdot\frac{du}{dx}.
Explicando: dá para diferenciar termo a termo e puxar constantes para fora da derivada. Isso é essencial para polinômios.

Passo 4

Derivada de constante:
Se C é uma constante (número que não depende de x), então
\frac{d}{dx}C=0.
Motivo simples: uma constante não muda quando x muda, então a taxa de variação é zero.

Passo 5

Regra do expoente (power rule) — caso básico que vamos usar:
Para inteiro positivo n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
Ideia da demonstração rápida (para intuir): usar a expansão binomial
(x+h)^{n}=x^{n}+n x^{n-1}h+\text{termos com }h^{2},h^{3},\dots
e colocar isso na definição limite. Ao dividir por h e fazer h\to0, todos os termos com h desaparecem, sobrando n x^{n-1}.
Exemplo curto para fixar: \dfrac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2} — porque n=3.

Passo 6

Aplicando as regras à função dada termo a termo.
Escrevendo a derivada usando linearidade:
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\bigl(2x^{9}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(3x\bigr)+\frac{d}{dx}(2).
Agora cada termo:
  • Para \dfrac{d}{dx}\bigl(2x^{9}\bigr): pela constante multiplicativa e pela regra do expoente,
\frac{d}{dx}\bigl(2x^{9}\bigr)=2\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{9}\bigr)=2\cdot 9x^{8}=18x^{8}.
  • Para \dfrac{d}{dx}\bigl(3x\bigr): x é x^{1}, então pela regra do expoente
\frac{d}{dx}\bigl(3x\bigr)=3\cdot\frac{d}{dx}(x)=3\cdot 1=3.
Como o termo original estava com sinal menos, fica -3.
  • Para \dfrac{d}{dx}(2): é uma constante, logo
\frac{d}{dx}(2)=0.

Passo 7

Juntando os resultados:
\frac{dy}{dx}=18x^{8}-3+0,
ou simplesmente
\frac{dy}{dx}=18x^{8}-3.
Observação rápida (dica de prova): o grau do polinômio caiu de 9 para 8 no primeiro termo, e constantes desapareceram — padrão que vale para qualquer polinômio.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=18x^{8}-3

Exercícios relacionados