Questão 14. Calcule
:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular
da função dada.
Informações fornecidas:
Portanto a tarefa é diferenciar essa expressão em relação a
.
Passo 2
O que é
(intuição e definição):
mede a taxa de variação de
quando
varia — ou seja, quanto
muda para uma pequena mudança em
.
Definição em termos de limite:
Aqui
significa a função
avaliada no ponto
e
é uma pequena variação em
. Essa definição é a base, mas calcular limites diretos fica cansativo para polinômios; por isso usamos regras práticas (teoremas) que tornam tudo rápido.
Passo 3
Regra da linearidade (soma e constante multiplicativa):
Se e
são funções diferenciáveis e
é constante, então
Se
Explicando: dá para diferenciar termo a termo e puxar constantes para fora da derivada. Isso é essencial para polinômios.
Passo 4
Derivada de constante:
Se é uma constante (número que não depende de
), então
Se
Motivo simples: uma constante não muda quando
muda, então a taxa de variação é zero.
Passo 5
Regra do expoente (power rule) — caso básico que vamos usar:
Para inteiro positivo ,
Para inteiro positivo
Ideia da demonstração rápida (para intuir): usar a expansão binomial
e colocar isso na definição limite. Ao dividir por
e fazer
, todos os termos com
desaparecem, sobrando
.
Exemplo curto para fixar:
— porque
.
Passo 6
Aplicando as regras à função dada termo a termo.
Escrevendo a derivada usando linearidade:
Agora cada termo:
- Para
: pela constante multiplicativa e pela regra do expoente,
- Para
: é , então pela regra do expoente
Como o termo original estava com sinal menos, fica
.
- Para
: é uma constante, logo
Passo 7
Juntando os resultados:
ou simplesmente
Observação rápida (dica de prova): o grau do polinômio caiu de
para
no primeiro termo, e constantes desapareceram — padrão que vale para qualquer polinômio.