Questão 16

Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Dado o problema de valor inicial:
f^{\prime \prime}(x)=3 \sqrt{x}, f^{\prime}(1)=-1 e f(0)=32
Encontre a sua solução e determine f(2) :
Resposta: 30,53

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial com
f''(x)=3\sqrt{x},\quad f'(1)=-1,\quad f(0)=32
e pede a função f(x) que satisfaça essas condições e, em seguida, o valor de f(2). Vamos resolver integrando duas vezes e aplicando as condições iniciais.

Passo 2

Integramos a segunda derivada para achar f'(x). Como
f''(x)=3x^{1/2},
temos
f'(x)=\int 3x^{1/2}\,dx =3\cdot\frac{2}{3}x^{3/2}+C_{1} =2x^{3/2}+C_{1}.

Passo 3

Usamos a condição f'(1)=-1. Substituindo x=1 em f'(x):
f'(1)=2\cdot1^{3/2}+C_{1}=2+C_{1}=-1 \quad\Longrightarrow\quad C_{1}=-3.
Logo
f'(x)=2x^{3/2}-3.

Passo 4

Integramos f'(x) para obter f(x):
f(x)=\int\bigl(2x^{3/2}-3\bigr)\,dx =2\cdot\frac{2}{5}x^{5/2}-3x+C_{2} =\frac{4}{5}x^{5/2}-3x+C_{2}.

Passo 5

Usamos a condição f(0)=32. Substituindo x=0 em f(x):
f(0)=\frac{4}{5}\cdot0^{5/2}-3\cdot0+C_{2}=C_{2}=32.
Portanto
f(x)=\frac{4}{5}x^{5/2}-3x+32.

Passo 6

Para encontrar f(2), substituímos x=2 em f(x):
f(2)=\frac{4}{5}\,2^{5/2}-3\cdot2+32.
Como 2^{5/2}=4\sqrt{2}, fica
f(2)=\frac{4}{5}\cdot4\sqrt{2}-6+32 =\frac{16\sqrt{2}}{5}+26 \approx30,53.

Resposta

f(x)=\displaystyle\frac{4}{5}x^{5/2}-3x+32 f(2)=30,53

Exercícios relacionados