Questão 14. Dada a matriz
A=\left(\begin{array}{ll} 4 & 1 \\\\ 2 & 0 \end{array}\right)
Determine os valores próprios e os espaços próprios da matriz A.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix}4 & 1 \\[6pt] 2 & 0\end{pmatrix}
e pede os autovalores (valores próprios) e os autovetores (espaços próprios). O conteúdo é teoria de autovalores: primeiro calculamos o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0 para achar os autovalores \lambda; em seguida, para cada \lambda, resolvemos (A-\lambda I)x=0 para obter o espaço próprio correspondente.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico:
\det(A-\lambda I) = \det\begin{pmatrix}4-\lambda & 1 \\[4pt] 2 & -\lambda\end{pmatrix} = (4-\lambda)(-\lambda) - 2\cdot 1 = -4\lambda + \lambda^2 - 2 = \lambda^2 - 4\lambda - 2.
Igualando a zero,
\lambda^2 - 4\lambda - 2 = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}.]

Passo 3

Para \lambda_1 = 2 + \sqrt{6}, resolvemos
(A - \lambda_1 I)x = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} 4 - (2+\sqrt{6}) & 1 \\[4pt] 2 & - (2+\sqrt{6}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
A primeira equação é
(2-\sqrt{6})\,x + y = 0 \;\Longrightarrow\; y = (\sqrt{6}-2)\,x.
Logo o espaço próprio associado a \lambda_1 é
E_{\lambda_1} = \Bigl\{\,(x,y) = t\,(1,\,\sqrt{6}-2)\mid t\in\mathbb{R}\Bigr\}.]

Passo 4

Para \lambda_2 = 2 - \sqrt{6}, resolvemos
(A - \lambda_2 I)x = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} 4 - (2-\sqrt{6}) & 1 \\[4pt] 2 & - (2-\sqrt{6}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\\ y\end{pmatrix} = 0.
A primeira equação dá
(2+\sqrt{6})\,x + y = 0 \;\Longrightarrow\; y = -\bigl(2+\sqrt{6}\bigr)\,x.
Então o espaço próprio associado a \lambda_2 é
E_{\lambda_2} = \Bigl\{\,(x,y) = t\,(1,\,-(2+\sqrt{6}))\mid t\in\mathbb{R}\Bigr\}.]

Resposta

Os autovalores são
\lambda_1 = 2 + \sqrt{6}, \quad \lambda_2 = 2 - \sqrt{6}.
Os espaços próprios são
E_{\lambda_1} = \mathrm{span}\{(1,\,\sqrt{6}-2)\}, \qquad E_{\lambda_2} = \mathrm{span}\{(1,\,-(2+\sqrt{6}))\}.

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