Questão 15. Dada a matriz
B=\left(\begin{array}{ll} 4 & 1 \\\\ 2 & 0 \end{array}\right)
Determine os valores próprios e os espaços próprios da matriz B.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os valores próprios (autovalores) e os espaços próprios (autovetores) da matriz
B = \begin{pmatrix}4 & 1\\\\ 2 & 0\end{pmatrix}.
Isso envolve dois passos clássicos: (i) calcular o polinômio característico \det(B - \lambda I) e achar suas raízes \lambda; (ii) para cada \lambda, resolver (B - \lambda I)v = 0 para obter o espaço próprio.

Passo 2

Vamos montar o polinômio característico:
\det(B - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}4-\lambda & 1 \\\\ 2 & -\lambda\end{pmatrix} = (4-\lambda)(-\lambda) - 2\cdot1.
Expandindo,
\det(B - \lambda I) = -4\lambda + \lambda^2 - 2 = \lambda^2 - 4\lambda - 2.

Passo 3

Igualamos a zero para encontrar os autovalores:
\lambda^2 - 4\lambda - 2 = 0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara,
\lambda = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4\cdot1\cdot(-2)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}.
Logo, \lambda_1 = 2 + \sqrt{6} e \lambda_2 = 2 - \sqrt{6}.

Passo 4

Para \lambda_1 = 2 + \sqrt{6}, resolvemos
(B - \lambda_1 I)v = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}4-(2+\sqrt{6}) & 1 \\[6pt] 2 & - (2+\sqrt{6})\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
A primeira equação é
(2 - \sqrt{6})\,x + y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = (\sqrt{6} - 2)\,x.
Escolhendo x=1 como parâmetro, um vetor não nulo do espaço próprio é
v_1 = \begin{pmatrix}1 \\[4pt]\sqrt{6}-2\end{pmatrix},
então
E_{\lambda_1} = \Span\{\,v_1\}.]

Passo 5

Para \lambda_2 = 2 - \sqrt{6}, fazemos o mesmo:
(B - \lambda_2 I)v = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}4-(2-\sqrt{6}) & 1 \\[6pt] 2 & - (2-\sqrt{6})\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = 0.
A primeira linha dá
(2 + \sqrt{6})\,x + y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = -\,(2+\sqrt{6})\,x.
Tomando x=1, podemos escolher
v_2 = \begin{pmatrix}1 \\[4pt]-(2+\sqrt{6})\end{pmatrix},
e
E_{\lambda_2} = \Span\{\,v_2\}.]

Resposta

Os valores próprios são
\lambda_1 = 2 + \sqrt{6}, \quad \lambda_2 = 2 - \sqrt{6}.
Os espaços próprios correspondentes são
E_{\lambda_1} = \Span\Bigl\{\begin{pmatrix}1 \\[4pt]\sqrt{6}-2\end{pmatrix}\Bigr\}, \qquad E_{\lambda_2} = \Span\Bigl\{\begin{pmatrix}1 \\[4pt]-(2+\sqrt{6})\end{pmatrix}\Bigr\}.]

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