Questão 16. Dada a matriz
A=\left(\begin{array}{cc} -25 & -36 \\\\ 18 & 26 \end{array}\right)
Disse se é possivel diagonalizar a matriz A.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}-25 & -36\\\ 18 & 26\end{pmatrix}
e pede para decidir se A é diagonalizável, isto é, se existe uma base de \mathbb{R}^2 formada por autovetores de A. Para isso, vamos (1) encontrar os autovalores de A e (2) verificar se cada autovalor tem multiplicidade geométrica igual à sua multiplicidade algébrica.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A por
\det(A-\lambda I) =\det\!\begin{pmatrix}-25-\lambda & -36\\[4pt]18 & 26-\lambda\end{pmatrix} =(-25-\lambda)(26-\lambda)-(-36)\cdot18.
Expandindo,
(-25-\lambda)(26-\lambda)+648 =\lambda^2-\lambda-2,
logo o polinômio característico é
\lambda^2-\lambda-2=0.]

Passo 3

Resolvendo
\lambda^2-\lambda-2=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{2} =\frac{1\pm3}{2},
obtemos os autovalores
\lambda_1=2, \qquad \lambda_2=-1,
que são distintos.

Passo 4

Como os autovalores são distintos em \mathbb{R}, cada um gera um único autovetor (até escala) e esses autovetores são linearmente independentes. Para ver isso explicitamente:
Para \lambda_1=2, resolvemos
(A-2I)x=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}-27 & -36\\[3pt]18 & 24\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0 \;\Longrightarrow\; 3x+4y=0 \;\Longrightarrow\; y=-\tfrac34x.
Um autovetor correspondente é \displaystyle v_1=\begin{pmatrix}4\\\ -3\end{pmatrix}.
Para \lambda_2=-1, resolvemos
(A+I)x=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}-24 & -36\\[3pt]18 & 27\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0 \;\Longrightarrow\; 2x+3y=0 \;\Longrightarrow\; y=-\tfrac23x.
Um autovetor correspondente é \displaystyle v_2=\begin{pmatrix}3\\\ -2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Como há dois autovalores distintos em \mathbb{R}, obtemos dois autovetores linearmente independentes \{v_1,v_2\}. Portanto, A é diagonalizável sobre \mathbb{R}.

Resposta

Sim. Os autovalores são \lambda_1=2 e \lambda_2=-1, distintos, e há dois autovetores independentes, logo A é diagonalizável.

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