Questão 15 (IBGE/2010)

O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística - IBGE divulga, anualmente, a Tábua Completa de Mortalidade. Na tabela a
seguir estão as probabilidades de morte entre as idades exatas e , em mil%; as probabilidades complementares , em mil% e as probabilidades complementares acumuladas para o ano de 2007.

Tábua de Mortalidade

Idades exatas (X) (em mil %) 1-Q(X, 1 ) (em mil %)
50 6,6 993,37 0,99337
51 7,1 992,94 0,98635
52 7,6 992,43 0,97888
53 8,2 991,84 0,97090
54 8,8 991,19 0,96234
55 9,5 990,47 0,95317
Disponivel em: ftp://fp.ibge.gov.br/Tabuas_Completas_de Mortalidade/Tabuas_Completas_de_Mortalidade_2007. Acessado em 13/11/2009.
Dado um indivíduo com 50 anos, a probabilidade de morrer antes de completar 55 anos é de, aproximadamente,
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)

Passo 1

Beleza, vamos resumir. A tabela mostra, para cada idade X, a probabilidade de morrer entre X e X+1, que chamamos Q(X,1), e o complemento
p(X)=1-Q(X,1)
que é a probabilidade de sobreviver esse ano. A questão quer saber a probabilidade de um indivíduo de 50 anos morrer antes de completar 55, ou seja
Q(50,5)
Na teoria de tábuas de mortalidade vale a fórmula
Q(50,5)=1-;5p50,
onde
5p50=prodi=50^54p(i)
é a probabilidade de sobreviver dos 50 até os 55. Então o que vamos precisar é justamente esse produto das probabilidades de sobrevivência dos anos 50, 51, 52, 53 e 54.

Passo 2

Pela tabela, cada linha já nos dá p(X)=1-Q(X,1) e a coluna de produto acumulado até aquela idade. Em particular, para X=54 a tabela diz que
5p50=prodi=50^54p(i)=0,96234
Se você quisesse conferir, poderia multiplicar:
0,99337times0,99294times0,99243times0,99184times0,99119approx0,96234

Passo 3

Agora, aplicando a fórmula do passo 1, a probabilidade de morrer antes dos 55 é
Q(50,5)=1-5p50=1-0,96234=0,03766
Em porcentagem isso dá 3,766%,, que a gente arredonda para 3,8%.

Resposta

A probabilidade de morrer antes de completar 55 anos é aproximadamente 3,8% (alternativa A).

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