Questão 9. Calcule a área das superfícies abaixo:
S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x^{2}+y^{2}=1, x+y \leq z \leq 9+2 x-y\right\}.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície cilíndrica definida por
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x^2+y^2=1,\;x+y\le z\le 9+2x-y\}.
O conteúdo é cálculo de área de superfície parametrizada. Vamos parametrizar o cilindro de raio 1 e usar a fórmula da área
\text{Area}(S)=\iint_D\bigl\|r_u\times r_v\bigr\|\,du\,dv.

Passo 2

Parametrizamos o cilindro por
r(\theta,z)=\bigl(\cos\theta,\;\sin\theta,\;z\bigr),
com \theta\in[0,2\pi] e z variando de z_{\min}=x+y até z_{\max}=9+2x-y.

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes e seu produto vetorial:
r_\theta=(-\sin\theta,\cos\theta,0), \quad r_z=(0,0,1),
r_\theta\times r_z=(\cos\theta,\sin\theta,0), \quad \bigl\|r_\theta\times r_z\bigr\|=1.
Logo, o elemento de área é dS=d\theta\,dz.

Passo 4

A área de S é
\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{z=x+y}^{\,z=9+2x-y}1\;dz\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\bigl[(9+2x-y)-(x+y)\bigr]\,d\theta.
Substituindo x=\cos\theta e y=\sin\theta, a altura vale
(9+2\cos\theta-\sin\theta)-(\cos\theta+\sin\theta) =9+\cos\theta-2\sin\theta.

Passo 5

Integramos em \theta:
\int_{0}^{2\pi}\bigl(9+\cos\theta-2\sin\theta\bigr)d\theta =9\cdot2\pi+\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta-2\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta =18\pi+0-2\cdot0=18\pi.

Resposta

A área da superfície S é 18\pi.

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