Use o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha
\oint_{C} \vec{F} \bullet d \vec{r} nos seguintes casos:
\vec{F}(x, y, z)=\left(-y+\cos x^{2}\right) \vec{i}+\left(x+\operatorname{sen} y^{2}\right) \vec{j} em que a fronteira de S é a curva C=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+\right. \left.y^{2}+z^{2}=1, z=\frac{1}{2}\right\} orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral de linha \oint_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r} onde a curva C é a fronteira da superfície S indicada.
Informações dadas:
  • O campo vetorial é \vec{F}(x,y,z)=\bigl(-y+\cos x^{2}\bigr)\,\vec{i}+\bigl(x+\sin y^{2}\bigr)\,\vec{j}. Note que não há componente na direção \vec{k} (ou seja, a componente R é 0).
  • A curva C é o círculo definido por
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,\quad z=\tfrac{1}{2},
orientada no sentido anti-horário quando vista de cima (ou seja, sentido positivo ao olhar pelo eixo z para baixo).
  • Não há outras perguntas — só calcular o valor numérico da integral de linha ao longo de C.

Passo 2

Decidindo como resolver: como o enunciado relaciona uma curva fechada C que é a fronteira de uma superfície S, uma ferramenta natural é usar o teorema que transforma uma integral de linha ao redor de uma curva fechada numa integral de superfície do rotacional do campo sobre uma superfície com essa fronteira. Vou aplicar esse teorema porque:
  • o rotacional de \vec{F} é relativamente simples de calcular aqui,
  • podemos escolher para S a superfície plana z=\tfrac{1}{2} limitada por C (um disco), o que torna a integral de superfície muito simples de calcular.

Passo 3

Enunciando o teorema (forma usada): para uma superfície orientada S com fronteira \partial S=C com a orientação correta, vale
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS,
onde \nabla\times\vec{F} é o rotacional de \vec{F}, \vec{n} é o vetor normal unitário compatível com a orientação de C, e dS é o elemento de área sobre S.
Explicação do que significa cada termo:
  • \nabla\times\vec{F} mede a “rotação local” do campo \vec{F}.
  • (\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n} é a componente dessa rotação na direção normal da superfície.
  • A integral de superfície soma essa componente em toda a superfície; o teorema diz que isso equivale à integral de linha ao redor da fronteira.

Passo 4

Calcular o rotacional \nabla\times\vec{F}. Para \vec{F}=(P,Q,R) com P=-y+\cos x^{2}, Q=x+\sin y^{2}, R=0, a fórmula do rotacional é
\nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\vec{i}+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\vec{j}+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\vec{k}.
Agora calculamos as derivadas parciais necessárias:
  • \dfrac{\partial R}{\partial y}=0 e \dfrac{\partial R}{\partial x}=0 porque R=0.
  • \dfrac{\partial Q}{\partial z}=0 porque Q não depende de z.
  • \dfrac{\partial P}{\partial z}=0 porque P não depende de z.
  • \dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(x+\sin y^{2}\bigr)=1.
  • \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(-y+\cos x^{2}\bigr)=-1.
Substituindo:
\nabla\times\vec{F}=(0-0)\,\vec{i}+(0-0)\,\vec{j}+(1-(-1))\,\vec{k}=0\,\vec{i}+0\,\vec{j}+2\,\vec{k}.
Portanto
\nabla\times\vec{F}=2\,\vec{k}.
Observação intuitiva: o rotacional é um vetor constante apontando para cima de módulo 2.

Passo 5

Escolha da superfície S e da normal \vec{n}. Podemos escolher S como o disco plano contido no plano z=\tfrac{1}{2} e limitado pela curva C. Esse disco tem raio
r=\sqrt{1-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{1-\tfrac{1}{4}}=\sqrt{\tfrac{3}{4}}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Sobre esse disco plano, o vetor normal unitário para cima é \vec{n}=\vec{k}. Precisamos checar a orientação: a curva C foi dada orientada no sentido anti-horário vista de cima; pela regra da mão direita, essa orientação corresponde à normal apontando para cima ( +\vec{k}). Então \vec{n}=\vec{k} é compatível com a orientação dada.

Passo 6

Aplicar a integral de superfície. Pelo teorema de Stokes:
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS.
Como \nabla\times\vec{F}=2\vec{k} e \vec{n}=\vec{k}, temos (\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}=2. Assim a integral fica
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}2\,dS=2\cdot\text{(área de }S\text{)}.á
A área do disco de raio r=\tfrac{\sqrt{3}}{2} é
\text{área}= \pi r^{2}=\pi\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=\pi\cdot\tfrac{3}{4}=\tfrac{3\pi}{4}.á
Portanto
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=2\cdot\tfrac{3\pi}{4}=\tfrac{3\pi}{2}.

Passo 7

Resumo final e encorajamento: calculamos o rotacional (que ficou simples e constante), escolhemos o disco plano como superfície (mais fácil porque o plano é horizontal), e usamos que a orientação dada corresponde à normal para cima. O cálculo reduziu-se a 2 vezes a área do disco; o resultado é limpo e bonito.

Resposta

\displaystyle \frac{3\pi}{2}

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