Questão 16 (Viçosa - MG)
O valor da expressão \frac{(1+\mathrm{i})^{2}(2 \mathrm{i}-1) \cdot \mathrm{i}^{3}}{(\mathrm{i}+1)(\mathrm{i}-1)}+2 \mathrm{i} é:
a) 1
b) Zero
c) 4 i+1
d) -1
e) 4 \mathrm{i}-1

Passo 1

O enunciado pede o valor da expressão
\frac{(1+\mathrm{i})^{2}(2 \mathrm{i}-1) \cdot \mathrm{i}^{3}}{(\mathrm{i}+1)(\mathrm{i}-1)}+2 \mathrm{i},
e dá as alternativas: (a) 1, (b) 0, (c) 4\mathrm{i}+1, (d) -1, (e) 4\mathrm{i}-1.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a expressão envolve a unidade imaginária \mathrm{i}, que satisfaz \mathrm{i}^{2}=-1. Não há outras incógnitas.

Passo 2

Vamos lembrar e usar propriedades básicas da unidade imaginária \mathrm{i}:
\mathrm{i}^{2}=-1. A partir disso segue que
\mathrm{i}^{3}=\mathrm{i}^{2}\cdot\mathrm{i}=-1\cdot\mathrm{i}=-\mathrm{i},
e
\mathrm{i}^{4}=(\mathrm{i}^{2})^{2}=(-1)^{2}=1.
Essas simplificações são muito úteis para reduzir potências de \mathrm{i}.

Passo 3

Calculo (1+\mathrm{i})^{2} expandindo o quadrado (distributiva / binômio):
(1+\mathrm{i})^{2}=1+2\mathrm{i}+\mathrm{i}^{2}.
Usando \mathrm{i}^{2}=-1 obtemos
(1+\mathrm{i})^{2}=1+2\mathrm{i}-1=2\mathrm{i}.

Passo 4

Substituo (1+\mathrm{i})^{2}=2\mathrm{i} na parte do numerador que envolve (1+\mathrm{i})^{2}(2\mathrm{i}-1):
2\mathrm{i}\cdot(2\mathrm{i}-1)=2\mathrm{i}\cdot2\mathrm{i}-2\mathrm{i}\cdot1=4\mathrm{i}^{2}-2\mathrm{i}.
Como \mathrm{i}^{2}=-1, temos
4\mathrm{i}^{2}-2\mathrm{i}=4(-1)-2\mathrm{i}=-4-2\mathrm{i}.

Passo 5

Agora multiplico esse resultado por \mathrm{i}^{3}. Lembre que, do Passo 2, \mathrm{i}^{3}=-\mathrm{i}. Então
(-4-2\mathrm{i})\cdot(-\mathrm{i}) = (-4)\cdot(-\mathrm{i}) + (-2\mathrm{i})\cdot(-\mathrm{i}).
Calculo cada termo: (-4)\cdot(-\mathrm{i})=4\mathrm{i} e (-2\mathrm{i})\cdot(-\mathrm{i})=2\mathrm{i}^{2}=2(-1)=-2. Somando,
(-4-2\mathrm{i})\cdot(-\mathrm{i})=4\mathrm{i}-2.
Ou reescrevendo na forma padrão: -2+4\mathrm{i}. Esse é o numerador completo.

Passo 6

Calculo o denominador (\mathrm{i}+1)(\mathrm{i}-1) usando distributiva:
(\mathrm{i}+1)(\mathrm{i}-1)=\mathrm{i}^{2}-\mathrm{i}+\mathrm{i}-1=\mathrm{i}^{2}-1.
Substituindo \mathrm{i}^{2}=-1 obtemos
\mathrm{i}^{2}-1=-1-1=-2.

Passo 7

Divido o numerador pelo denominador:
\frac{-2+4\mathrm{i}}{-2}.
Como o denominador é um número real, posso dividir cada termo do numerador por -2:
\frac{-2}{-2}+\frac{4\mathrm{i}}{-2}=1-2\mathrm{i}.
Portanto a fração inicial simplifica para 1-2\mathrm{i}.

Passo 8

Finalmente somo 2\mathrm{i} (a parte final da expressão):
1-2\mathrm{i}+2\mathrm{i}=1+( -2\mathrm{i}+2\mathrm{i})=1+0=1.
Logo o valor da expressão inteira é 1.

Passo 9

Comparando com as alternativas, o valor 1 corresponde à alternativa (a).

Resposta

a) 1

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