QUESTÃO 17

O valor de \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-2 x}{x^{2}-2} é igual a:
(A) -1 / 2
(B) -1 .
C 1 .
(D) 1 / 2.
(E) Outro resultado.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o seguinte limite:
\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}-2x}{x^{2}-2}.
Informações dadas:
  • A expressão é uma razão entre dois polinômios: o numerador é x^{2}-2x e o denominador é x^{2}-2.
  • O ponto onde a variável se aproxima é x=1.
  • O enunciado apresenta alternativas numéricas para o resultado (entre elas 1), mas a nossa tarefa é achar o valor do limite.

Passo 2

Conceito útil (explicação didática): funções racionais e continuidade.
  • Uma função racional é uma razão de dois polinômios, isto é, uma função da forma \dfrac{P(x)}{Q(x)} com P e Q polinômios.
  • Polinômios são funções contínuas em todo \mathbb{R}. Isso significa que para um polinômio P temos \lim_{x\to a} P(x)=P(a) para qualquer a.
  • A razão de dois polinômios \dfrac{P(x)}{Q(x)} é contínua em todo a tal que Q(a)\neq 0. Portanto, se Q(a)\neq 0, podemos calcular o limite por substituição direta: \displaystyle\lim_{x\to a}\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P(a)}{Q(a)}.
  • Aviso prático: só não podemos substituir diretamente quando o denominador tende a zero (porque aí a função não está definida naquele ponto); nesse caso precisamos de outras técnicas (fatoração, cancelamento, regra de L’Hôpital etc.). Aqui vamos primeiro verificar se o denominador é zero em x=1.

Passo 3

Calcule o numerador em x=1:
1^{2}-2\cdot 1 = 1-2 = -1.

Passo 4

Calcule o denominador em x=1:
1^{2}-2 = 1-2 = -1.
Observação importante: o denominador em x=1 é -1, que é diferente de zero. Portanto podemos aplicar a propriedade da continuidade e usar substituição direta.

Passo 5

Aplicando substituição direta (porque o denominador não é zero) obtemos:
\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}-2x}{x^{2}-2} = \frac{\,1^{2}-2\cdot 1\,}{\,1^{2}-2\,} = \frac{-1}{-1} = 1.
Intuição final: como tanto numerador quanto denominador são finitos no ponto e o denominador não anula, o valor do limite é simplesmente o quociente dos valores naquele ponto.

Resposta

1

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