Questão 16. O princípio do máximo para difusão é falso, quando a equação da difusão tem coeficiente variável.
  • Considere u_{t}=x u_{x}. Mostre que u=2 x-x^{2} é uma solução.
  • Enconte o ponto de máximo da função u(x, t) no retângulo R=\{(x, t):-2 \leq x \leq 2,0 \leq t \leq 1\}.
  • Porque o princípio do máximo falha para a equação da difusão u_{t}=x u_{x} ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são as informações fornecidas.
  • Enunciado: a equação é \,u_{t}=x\,u_{x}\,.
  • Pedido 1: mostrar que a função dada pelo perfil inicial \,u(x,0)=2x-x^{2}\, gera uma solução explícita da equação (vou explicar como obter essa solução).
  • Pedido 2: encontrar o(s) ponto(s) de máximo da solução u(x,t) no retângulo \;R=\{(x,t)\mid -2\le x\le 2,\;0\le t\le 1\}.
  • Pedido 3: explicar por que o princípio do máximo (no sentido da equação do calor) falha para a equação \,u_{t}=x\,u_{x}\,.
Observações que vou usar mais adiante (não são resolução ainda): o enunciado fornece a equação e um perfil inicial u(x,0)=2x-x^{2} (essa é a função sugerida no enunciado). A solução geral da equação será construída por características; depois avaliaremos máximos no retângulo R.

Passo 2

Método que vou usar (características, explicado passo a passo). A equação \,u_{t}=x\,u_{x}\, é uma equação de primeiras ordens linear homogênea. A técnica de características diz que devemos igualar:
\frac{dt}{1}=\frac{dx}{-x}=\frac{du}{0}.
Vou explicar cada fração:
  • \dfrac{dt}{1} vem do coeficiente de u_t (que é 1);
  • \dfrac{dx}{-x} vem do coeficiente de u_x (que é -x quando colocamos todos os termos no formato u_t - x u_x = 0);
  • \dfrac{du}{0} porque a equação não tem termo livre em u, o que significa que u é constante ao longo de cada característica.
A igualdade \dfrac{du}{0} implica que u permanece constante ao longo de cada curva solução do sistema das duas primeiras frações. Vou então resolver as equações para as características.

Passo 3

Resolver as equações das características (detalhado).
A partir de \dfrac{dx}{dt}=-x temos a equação ordinária:
\frac{dx}{dt}=-x.
Essa é uma ODE linear simples; resolvendo por separação (ou reconhecendo expoencial):
\frac{dx}{x}=-dt \quad\Rightarrow\quad \ln|x|=-t + C \quad\Rightarrow\quad x(t)=C_1 e^{-t}.
Para relacionar com a condição inicial, chamo x_0 a abscissa na linha t=0 da característica: então x_0=C_1 e a característica que passa por (x_0,0) é
x(t)=x_0 e^{-t}.
Como \dfrac{du}{dt}=0 ao longo da característica, u é constante ao longo desta curva e igual ao valor inicial no ponto onde a característica corta t=0. Ou seja, se u(x,0)=u_0(x) é a condição inicial, então ao longo da característica que parte de x_0 temos u(x(t),t)=u_0(x_0).
Agora elimino x_0: da relação x(t)=x_0 e^{-t} segue x_0 = x e^{t}. Portanto a solução geral é
u(x,t)=u_0(x e^{t}).
Isto significa: para essa equação, a solução em tempo t no ponto x é simplesmente o valor inicial avaliado em x e^{t}.

Passo 4

Aplicar a fórmula geral à condição inicial dada. A condição inicial é u_0(s)=2s-s^{2}. Substituindo s=x e^{t} obtemos a solução explícita:
u(x,t)=u_0(x e^{t})=2(x e^{t})-(x e^{t})^{2}=2x e^{t}-x^{2} e^{2t}.
Agora verifico rapidamente calculando as derivadas parciais (mostrando passo a passo) para confirmar que esta função satisfaz \,u_{t}=x\,u_{x}\,.
Calcular u_{t}:
u_{t}=\frac{\partial}{\partial t}\bigl(2x e^{t}-x^{2} e^{2t}\bigr)=2x e^{t}-2x^{2} e^{2t}.
Calcular u_{x}:
u_{x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x e^{t}-x^{2} e^{2t}\bigr)=2 e^{t}-2x e^{2t}.
Multiplicar u_{x} por x:
x\,u_{x}=x\bigl(2 e^{t}-2x e^{2t}\bigr)=2x e^{t}-2x^{2} e^{2t}.
Comparando, vemos que
u_{t}=2x e^{t}-2x^{2} e^{2t}=x\,u_{x},
logo a função \,u(x,t)=2x e^{t}-x^{2} e^{2t}\, é de fato solução da equação com a condição inicial dada. (Assim a condição inicial u(x,0)=2x-x^{2} gera essa solução.)

Passo 5

Determinar os extremos (máximo) no retângulo R. Estratégia: procurar pontos críticos interiores (gradiente zero) e comparar com os valores na fronteira do retângulo.
Primeiro, escrevo a solução novamente para referência:
u(x,t)=2x e^{t}-x^{2} e^{2t}.
Calculo as derivadas parciais já obtidas:
u_{x}=2 e^{t}-2x e^{2t}=2 e^{t}\bigl(1-x e^{t}\bigr),
u_{t}=2x e^{t}-2x^{2} e^{2t}=2x e^{t}\bigl(1-x e^{t}\bigr).
Um ponto crítico interior (com 0<t<1 e -2<x<2) exige u_{x}=0 e u_{t}=0 simultaneamente. Observação: ambas as derivadas têm o fator comum \,1-x e^{t}\,. Portanto as equações simultâneas dão o mesmo fator nulo. Para que ambas sejam zero é suficiente que
1-x e^{t}=0 \quad\Longrightarrow\quad x e^{t}=1.
(Nos pontos onde e^{t}=0 não há solução; e^{t}>0 sempre, e as outras possibilidades para as derivadas não simultaneamente nulas não dão um ponto crítico interior.)
Assim a condição dos pontos críticos é
x=e^{-t}.
Para t\in[0,1] isso dá x\in[e^{-1},1]\subset[-2,2], então a curva x=e^{-t} atravessa o interior do retângulo R (inclui o ponto na fronteira quando t=0, x=1).
Avalio o valor de u nesses pontos críticos: como x e^{t}=1, usando a forma u(x,t)=2(x e^{t})-(x e^{t})^{2} (lembrando a construção por características),
u(x,t)=2\cdot 1 - 1^{2}=1.
Portanto, todos os pontos da curva x=e^{-t} têm o mesmo valor u=1.
Agora verifico a fronteira do retângulo para garantir que não exista valor maior que 1.
  1. Fronteira t=0 (condição inicial): u(x,0)=2x-x^{2}. Essa quadrática atinge máximo em x=1 com valor 1. Portanto sobre t=0, o máximo é 1.
  2. Fronteira t=1: u(x,1)=2x e - x^{2} e^{2} é uma parábola em x (concavidade negativa). O vértice é em x=\dfrac{2e}{2e^{2}}=\dfrac{1}{e}, e o valor máximo é
u\!\bigl(\tfrac{1}{e},1\bigr)=2\cdot \tfrac{1}{e}\,e - \bigl(\tfrac{1}{e}\bigr)^{2} e^{2}=2-1=1.
Logo sobre t=1 o máximo também é 1, alcançado em x=1/e.
  1. Fronteiras verticais x=2 e x=-2: para -2\le t\le 1,
u(2,t)=4 e^{t}-4 e^{2t}=4 e^{t}(1-e^{t})\le 0,
pois e^{t}\ge 1 em t\ge 0. O valor máximo nessa aresta é 0 (em t=0). Para x=-2,
u(-2,t)=-4 e^{t}-4 e^{2t}=-4 e^{t}(1+ e^{t})<0,
então não chegam nem perto de 1.
Conclusão desta análise: o valor máximo de u no retângulo R é \,1. Esse máximo é obtido na curva interior (e também na borda inicial): o conjunto de pontos que atinge o máximo é
\{(x,t)\in R \mid x e^{t}=1\} \quad\text{ou, equivalentemente,}\quad \{(x,t)\mid x=e^{-t},\;0\le t\le 1\}.
Isso inclui o ponto da fronteira (x,t)=(1,0) e para todo 0<t\le 1 há pontos interiores (e^{-t},t) nos quais também u=1. Assim o máximo ocorre também em pontos do interior do retângulo (por exemplo em (e^{-1},1)).

Passo 6

Interpretação e resposta ao motivo pelo qual o princípio do máximo falha aqui (explicação didática, passo a passo).
Primeiro, o que normalmente se entende por princípio do máximo para a equação do calor (difusão típica) é: para a equação parabólica clássica \,u_{t}=a\,u_{xx}\, com a>0 constante (ou mais geralmente a(x,t)\ge a_0>0), uma solução suficientemente regular alcança seu máximo no chamado bordo parabólico (fronteira espacial ou tempo inicial), a não ser que a solução seja constante. Em outras palavras, o operador difusivo de segunda ordem impede que surjam máximos estritos no interior (a difusão “espalha” picos).
No nosso exemplo a equação é diferente: \,u_{t}=x\,u_{x}\, é uma equação de primeira ordem (uma equação de transporte/advectiva), não uma equação de difusão. Características são curvas ao longo das quais o valor de u é transportado sem amortecimento. A solução que construímos tem a forma
u(x,t)=u_0(x e^{t}),
ou seja, os valores do perfil inicial simplesmente são carregados ao longo das curvas x e^{t}=\text{const}. Se o perfil inicial tem um máximo em x_0, esse máximo será transportado ao longo da característica que passa por x_0 em t=0; assim, pontos de máximo do inicial podem aparecer (ou permanecer) no interior para tempos t>0.
No exemplo concreto: o máximo inicial u_0(x)=2x-x^{2} é 1 em x_0=1. A característica que parte de x_0=1 é x(t)=1\cdot e^{-t}. Ao longo dessa curva o valor de u permanece 1 para todo t, portanto há pontos no interior do retângulo (por exemplo (e^{-1},1)) onde u=1 e esse valor é máximo. Isso mostra explicitamente que a propriedade “máximo só na fronteira” não vale para essa equação.
Em termos conceituais e técnicos: o princípio do máximo para equações de difusão depende fortemente do termo de segunda derivada espacial com coeficiente positivo (o termo difusivo). Quando esse termo está ausente (como aqui) ou quando o operador não é uniformemente parabolico (por exemplo coeficiente de difusão que muda de sinal), a propriedade de espalhar picos e impedir máximos estritos no interior deixa de existir. No nosso caso não há termo u_{xx} com coeficiente positivo que obrigue a curvatura adequada; em vez disso há uma advecção que preserva valores iniciais ao longo de curvas características, permitindo máximos interiorizados.

Resposta

u(x,t)=2x e^{t}-x^{2} e^{2t}.
O valor máximo de u em R é 1, e é atingido nos pontos que satisfazem x e^{t}=1 (ou seja x=e^{-t} para 0\le t\le1); em particular há pontos de máximo no interior, por exemplo (x,t)=(e^{-1},1).
O princípio do máximo falha porque a equação é de transporte de primeira ordem (não tem termo difusivo u_{xx} com coeficiente positivo): valores máximos do dado inicial são transportados ao longo de características para o interior, ao invés de serem “aliviados” pela difusão.

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