Questão 16. O princípio do máximo para difusão é falso, quando a equação da difusão tem coeficiente variável.
- Considere
. Mostre que
é uma solução.
- Enconte o ponto de máximo da função
no retângulo
.
- Porque o princípio do máximo falha para a equação da difusão
?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são as informações fornecidas.
- Enunciado: a equação é
. - Pedido 1: mostrar que a função dada pelo perfil inicial
gera uma solução explícita da equação (vou explicar como obter essa solução). - Pedido 2: encontrar o(s) ponto(s) de máximo da solução
no retângulo . - Pedido 3: explicar por que o princípio do máximo (no sentido da equação do calor) falha para a equação
.
Observações que vou usar mais adiante (não são resolução ainda): o enunciado fornece a equação e um perfil inicial
(essa é a função sugerida no enunciado). A solução geral da equação será construída por características; depois avaliaremos máximos no retângulo
.
Passo 2
Método que vou usar (características, explicado passo a passo). A equação
é uma equação de primeiras ordens linear homogênea. A técnica de características diz que devemos igualar:
Vou explicar cada fração:
-
vem do coeficiente de (que é ); -
vem do coeficiente de (que é quando colocamos todos os termos no formato ); -
porque a equação não tem termo livre em , o que significa que é constante ao longo de cada característica.
A igualdade
implica que
permanece constante ao longo de cada curva solução do sistema das duas primeiras frações. Vou então resolver as equações para as características.
Passo 3
Resolver as equações das características (detalhado).
A partir de
temos a equação ordinária:
Essa é uma ODE linear simples; resolvendo por separação (ou reconhecendo expoencial):
Para relacionar com a condição inicial, chamo
a abscissa na linha
da característica: então
e a característica que passa por
é
Como
ao longo da característica,
é constante ao longo desta curva e igual ao valor inicial no ponto onde a característica corta
. Ou seja, se
é a condição inicial, então ao longo da característica que parte de
temos
.
Agora elimino
: da relação
segue
. Portanto a solução geral é
Isto significa: para essa equação, a solução em tempo
no ponto
é simplesmente o valor inicial avaliado em
.
Passo 4
Aplicar a fórmula geral à condição inicial dada. A condição inicial é
. Substituindo
obtemos a solução explícita:
Agora verifico rapidamente calculando as derivadas parciais (mostrando passo a passo) para confirmar que esta função satisfaz
.
Calcular
:
Calcular
:
Multiplicar
por
:
Comparando, vemos que
logo a função
é de fato solução da equação com a condição inicial dada. (Assim a condição inicial
gera essa solução.)
Passo 5
Determinar os extremos (máximo) no retângulo
. Estratégia: procurar pontos críticos interiores (gradiente zero) e comparar com os valores na fronteira do retângulo.
Primeiro, escrevo a solução novamente para referência:
Calculo as derivadas parciais já obtidas:
Um ponto crítico interior (com
e
) exige
e
simultaneamente. Observação: ambas as derivadas têm o fator comum
. Portanto as equações simultâneas dão o mesmo fator nulo. Para que ambas sejam zero é suficiente que
(Nos pontos onde
não há solução;
sempre, e as outras possibilidades para as derivadas não simultaneamente nulas não dão um ponto crítico interior.)
Assim a condição dos pontos críticos é
Para
isso dá
, então a curva
atravessa o interior do retângulo
(inclui o ponto na fronteira quando
,
).
Avalio o valor de
nesses pontos críticos: como
, usando a forma
(lembrando a construção por características),
Portanto, todos os pontos da curva
têm o mesmo valor
.
Agora verifico a fronteira do retângulo para garantir que não exista valor maior que
.
-
Fronteira
(condição inicial): . Essa quadrática atinge máximo em com valor . Portanto sobre , o máximo é . -
Fronteira
: é uma parábola em (concavidade negativa). O vértice é em , e o valor máximo é
Logo sobre
o máximo também é
, alcançado em
.
- Fronteiras verticais
e : para ,
pois
em
. O valor máximo nessa aresta é
(em
). Para
,
então não chegam nem perto de
.
Conclusão desta análise: o valor máximo de
no retângulo
é
. Esse máximo é obtido na curva interior (e também na borda inicial): o conjunto de pontos que atinge o máximo é
Isso inclui o ponto da fronteira
e para todo
há pontos interiores
nos quais também
. Assim o máximo ocorre também em pontos do interior do retângulo (por exemplo em
).
Passo 6
Interpretação e resposta ao motivo pelo qual o princípio do máximo falha aqui (explicação didática, passo a passo).
Primeiro, o que normalmente se entende por princípio do máximo para a equação do calor (difusão típica) é: para a equação parabólica clássica
com
constante (ou mais geralmente
), uma solução suficientemente regular alcança seu máximo no chamado bordo parabólico (fronteira espacial ou tempo inicial), a não ser que a solução seja constante. Em outras palavras, o operador difusivo de segunda ordem impede que surjam máximos estritos no interior (a difusão “espalha” picos).
No nosso exemplo a equação é diferente:
é uma equação de primeira ordem (uma equação de transporte/advectiva), não uma equação de difusão. Características são curvas ao longo das quais o valor de
é transportado sem amortecimento. A solução que construímos tem a forma
ou seja, os valores do perfil inicial simplesmente são carregados ao longo das curvas
. Se o perfil inicial tem um máximo em
, esse máximo será transportado ao longo da característica que passa por
em
; assim, pontos de máximo do inicial podem aparecer (ou permanecer) no interior para tempos
.
No exemplo concreto: o máximo inicial
é
em
. A característica que parte de
é
. Ao longo dessa curva o valor de
permanece
para todo
, portanto há pontos no interior do retângulo (por exemplo
) onde
e esse valor é máximo. Isso mostra explicitamente que a propriedade “máximo só na fronteira” não vale para essa equação.
Em termos conceituais e técnicos: o princípio do máximo para equações de difusão depende fortemente do termo de segunda derivada espacial com coeficiente positivo (o termo difusivo). Quando esse termo está ausente (como aqui) ou quando o operador não é uniformemente parabolico (por exemplo coeficiente de difusão que muda de sinal), a propriedade de espalhar picos e impedir máximos estritos no interior deixa de existir. No nosso caso não há termo
com coeficiente positivo que obrigue a curvatura adequada; em vez disso há uma advecção que preserva valores iniciais ao longo de curvas características, permitindo máximos interiorizados.
Resposta
O valor máximo de
O princípio do máximo falha porque a equação é de transporte de primeira ordem (não tem termo difusivo