• Questão 15: Resolva o sistema linear pelo método de escalonamento:
l 2 x+3 y-z=5 x-2 y+4 z=-3 3 x+y+2 z=4

Passo 1

Vamos resolver o sistema de equações lineares usando o método de escalonamento. O sistema é:
l 2x + 3y - z = 5 x - 2y + 4z = -3 3x + y + 2z = 4
Aqui, vamos precisar usar operações de linha para transformar o sistema em uma forma triangular, facilitando a solução das variáveis. Vamos seguir passo a passo para deixar tudo bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada:
2 & 3 & -1 & | & 5 1 & -2 & 4 & | & -3 3 & 1 & 2 & | & 4
Essa matriz nos ajuda a visualizar melhor as operações que precisamos fazer.

Passo 3

Vamos começar transformando o primeiro elemento da primeira coluna em 1 para facilitar. Para isso, podemos trocar a primeira linha com a segunda linha:
1 & -2 & 4 & | & -3 2 & 3 & -1 & | & 5 3 & 1 & 2 & | & 4
Assim, temos um 1 bem no canto para começar.

Passo 4

Agora, vamos eliminar os números abaixo do 1 na primeira coluna. Para isso:
  • Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha.
  • Subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira linha.
Vamos fazer isso:
Linha2 = Linha2 - 2 times Linha1
Linha3 = Linha3 - 3 times Linha1
Aplicando:
1 & -2 & 4 & | & -3 0 & 7 & -9 & | & 11 0 & 7 & -10 & | & 13

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o segundo elemento da segunda linha seja 1. Para isso, dividimos a segunda linha por 7:
Linha2 = 17 times Linha2
Resultando em:
1 & -2 & 4 & | & -3 0 & 1 & -97 & | & 117 0 & 7 & -10 & | & 13

Passo 6

Vamos eliminar o 7 que está abaixo do 1 na segunda coluna na terceira linha. Para isso, subtraímos 7 vezes a segunda linha da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - 7 times Linha2
Calculando:
1 & -2 & 4 & | & -3 0 & 1 & -97 & | & 117 0 & 0 & -1 & | & 2

Passo 7

Agora que temos uma matriz triangular, podemos resolver de baixo para cima. Começamos pela terceira equação:
-1z = 2 Rightarrow z = -2

Passo 8

Usamos o valor de z na segunda equação para encontrar y :
y - 97(-2) = 117
y + 187 = 117 Rightarrow y = 117 - 187 = -77 = -1

Passo 9

Por fim, usamos os valores de y e z na primeira equação para encontrar x :
x - 2(-1) + 4(-2) = -3
x + 2 - 8 = -3 Rightarrow x - 6 = -3 Rightarrow x = 3

Resposta

A solução do sistema é:
x = 3, y = -1, z = -2

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