A vida útil de baterias de carros é, em média, 2,5 anos. Por outro lado, há forte dependência dos componentes utilizados na produção dessa baterias, por isso é mais realista considerar que a vida útil tem distribuição Weibull do que, por exemplo, exponencial. Sabe-se que um dado fabricante produz baterias cuja distribuição dos tempos de vida tem parâmetro de forma
e que uma dessas baterias em particular já durou 2,8 anos. Determine o risco de falha. Use o fato de que
.
Determinar
(parâmetro de escala)
Sabemos que
Substituimos:
Calculamos
:
Detalhe esta conta
Determinar
Sabemos que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício que fala sobre a vida útil de baterias de carros. A média de funcionamento dessas baterias é de 2,5 anos, mas, devido à complexidade dos componentes usados na fabricação, a distribuição de vida útil é melhor modelada pela distribuição Weibull ao invés da exponencial. Nosso objetivo aqui é encontrar o risco de falha de uma bateria específica que já durou 2,8 anos. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a distribuição Weibull, especificamente seus parâmetros de forma (
) e escala (
), e como calcular a probabilidade de falha usando esses parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da expectativa (média) da distribuição Weibull. A média
é dada por:
Onde:
-
é a função gama, -
é o parâmetro de forma, -
é o parâmetro de escala.
No nosso caso, sabemos que
anos e
. Nosso primeiro passo é encontrar o valor de
.
Passo 3
Vamos substituir os valores que temos na fórmula da média para resolver
:
Simplificando:
Agora, precisamos calcular
. Sabemos que
e, utilizando propriedades da função gama, temos:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos isolar
na equação:
Então, encontramos que o parâmetro de escala é:
Passo 5
Com o valor de
conhecido, podemos agora calcular o risco de falha da bateria após 2,8 anos. O risco de falha, ou probabilidade de falha até um certo tempo
, na distribuição Weibull é dado pela função de distribuição acumulada (CDF):
Substituindo os valores que temos (
,
e
):
Passo 6
Vamos calcular a expressão dentro do expoente primeiro:
Elevando ao quadrado:
Agora, substituindo de volta na fórmula da CDF:
Passo 7
Vamos calcular o valor numérico de
:
Então:
Como
é um número extremamente pequeno, praticamente zero, temos:
Isso significa que a probabilidade de falha até 2,8 anos é praticamente 100%.
Resposta
O risco de falha da bateria após 2,8 anos é aproximadamente 100%.