A vida útil de baterias de carros é, em média, 2,5 anos. Por outro lado, há forte dependência dos componentes utilizados na produção dessa baterias, por isso é mais realista considerar que a vida útil tem distribuição Weibull do que, por exemplo, exponencial. Sabe-se que um dado fabricante produz baterias cuja distribuição dos tempos de vida tem parâmetro de forma theta=2 e que uma dessas baterias em particular já durou 2,8 anos. Determine o risco de falha. Use o fato de que Gamma(1 / 2)=raizpi.
Determinar gamma (parâmetro de escala)
Sabemos que
E(X)=Gamma(1+1 / theta)gamma
Substituimos:
2,5=Gamma(1+1 / 2)gamma
Calculamos Gamma(1+1 / 2) :
Gamma(1,5)=raizpi2
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Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que fala sobre a vida útil de baterias de carros. A média de funcionamento dessas baterias é de 2,5 anos, mas, devido à complexidade dos componentes usados na fabricação, a distribuição de vida útil é melhor modelada pela distribuição Weibull ao invés da exponencial. Nosso objetivo aqui é encontrar o risco de falha de uma bateria específica que já durou 2,8 anos. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a distribuição Weibull, especificamente seus parâmetros de forma ( theta) e escala ( gamma), e como calcular a probabilidade de falha usando esses parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da expectativa (média) da distribuição Weibull. A média E(X) é dada por:
E(X) = Gamma(1 + 1theta)gamma
Onde:
  • Gamma é a função gama,
  • theta é o parâmetro de forma,
  • gamma é o parâmetro de escala.
No nosso caso, sabemos que E(X) = 2,5 anos e theta = 2. Nosso primeiro passo é encontrar o valor de gamma.

Passo 3

Vamos substituir os valores que temos na fórmula da média para resolver gamma:
2,5 = Gamma(1 + 12)gamma
Simplificando:
2,5 = Gamma(1,5)gamma
Agora, precisamos calcular Gamma(1,5). Sabemos que Gamma(12) = raizpi e, utilizando propriedades da função gama, temos:
Gamma(32) = raizpi2
Portanto:
2,5 = raizpi2gamma

Passo 4

Agora, vamos isolar gamma na equação:
gamma = raizpi22,5 = raizpi5
Então, encontramos que o parâmetro de escala é:
gamma = raizpi5

Passo 5

Com o valor de gamma conhecido, podemos agora calcular o risco de falha da bateria após 2,8 anos. O risco de falha, ou probabilidade de falha até um certo tempo x, na distribuição Weibull é dado pela função de distribuição acumulada (CDF):
F(x) = 1 - e^-(xgamma)^theta
Substituindo os valores que temos ( x = 2,8, gamma = raizpi5 e theta = 2):
F(2,8) = 1 - e^-(2,8raizpi5)^2

Passo 6

Vamos calcular a expressão dentro do expoente primeiro:
2,8raizpi5 = 2,8 times 5raizpi = 14raizpi
Elevando ao quadrado:
(14raizpi)^2 = 196pi
Agora, substituindo de volta na fórmula da CDF:
F(2,8) = 1 - e^-196pi

Passo 7

Vamos calcular o valor numérico de 196pi:
196pi approx 1963,1416 approx 62,45
Então:
F(2,8) = 1 - e^-62,45
Como e^-62,45 é um número extremamente pequeno, praticamente zero, temos:
F(2,8) approx 1 - 0 = 1
Isso significa que a probabilidade de falha até 2,8 anos é praticamente 100%.

Resposta

O risco de falha da bateria após 2,8 anos é aproximadamente 100%.

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