Questão 15.

Considere um jogo em que primeiramente lançamos uma moeda justa. Se a moeda resultar em cara, lançamos então um dado de 6 lados (onde cada lado tem a mesma probabilidade de ocorrência), e paramos o jogo. Se a moeda resultar em coroa, não fazemos mais nada e paramos o jogo.
a. Esboce o espaço amostral Omega desse problema.
b. Defina A=[ a moeda resulta em cara ], e calcule P(A).
c. Defina B1=[ o resultado do dado é igual a 1 ], e calcule P(B1 cap A) (Dica: utilize a Regra do Produto).
d. Com base no resultado do item anterior, calcule P(B1) (Dica: defina A^c e utilize o Teorema da Probabilidade Total).
e. Com base no resultado dos itens anteriores, calcule P(A mid B1).

Passo 1

O enunciado descreve um experimento onde primeiro lançamos uma moeda justa e, se sair cara, em seguida lançamos um dado de seis faces. Os conteúdos envolvidos são: construção do espaço amostral, cálculo de probabilidade de um evento simples, uso da Regra do Produto, Teorema da Probabilidade Total e probabilidade condicional.

Passo 2

O espaço amostral Omega reúne todas as possíveis sequências de resultados. Se sair coroa, paramos; se sair cara, vêm os seis resultados do dado. Assim,
Omega = coroa,(cara,1),(cara,2),(cara,3),(cara,4),(cara,5),(cara,6)

Passo 3

Definimos A=[moeda resulta em cara()]. Como a moeda é justa,
P(A)=tfrac12 )

Passo 4

Definimos o resultado do dado é igual a 1 ocorre exatamente quando sai cara e depois o dado mostra 1. Pela Regra do Produto,
)

Passo 5

Para P(B1) usamos o Teorema da Probabilidade Total. Note que se sai coroa não há chance de B1. Logo, com A^c=[coroa )],
P(B1) =P(B1mid A),P(A) +P(B1mid A^c),P(A^c) =tfrac16timestfrac12+0timestfrac12 =tfrac112

Passo 6

Por fim, a probabilidade condicional
P(Amid B1) =P(Acap B1)P(B1) =tfrac112tfrac112 =1

Resposta

(a) Omega=coroa,(cara,1),(cara,2),(cara,3),(cara,4),(cara,5),(cara,6)
(b) P(A)=tfrac12
(c) P(B1cap A)=tfrac112
(d) P(B1)=tfrac112
(e) P(Amid B1)=1

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