Questão 15) Um oscilador sub-amortecido tem a sua amplitude de oscilação reduzida a 30% do seu valor inicial após 3 oscilações completas. A frequência desse oscilador na presença do amortecimento é de 1,5 Hz. Qual seria a sua frequência caso não houvesse nenhuma dissipação de energia?

Passo 1

O enunciado trata de um oscilador sub– amortecido cuja amplitude decai exponencialmente devido a uma taxa de amortecimento gamma. Sabemos que após 3 oscilações completas a amplitude ficou em 30% do valor inicial e que a frequência medida no regime amortecido é fd=1,5 Hz. Queremos encontrar a frequência natural f0 do oscilador sem dissipação de energia.

Passo 2

No caso sub– amortecido, a amplitude segue
A(t)=A0expl(-gamma,t2r)
Como 3 oscilações correspondem a
t=3,Td, Td=1fd,
e A(3Td)/A0=0,3, temos
expl(-gamma,(3Td)2r)=0,3

Passo 3

Substituindo Td=1/fd e tomando logaritmo:
-gamma,(3/fd)2=ln(0,3) ;Longrightarrow; gamma=-2,ln(0,3)3/fd =-2,ln(0,3),fd3
Numericamente, com fd=1,5 Hz:
gamma=-ln(0,3)approx1,204;s^-1

Passo 4

A frequência angular amortecida é omegad=2pi fd e a n– amortecida satisfaz
omega0^2=omegad^2+gamma^24
Como omega0=2pi f0, obtemos
f0 =12piraiz(2pi fd)^2+gamma^24 =raizfd^2+gamma^216pi^2

Passo 5

Substituindo fd=1,5 Hz e gamma=1,204 s^-1:
f0 =raiz(1,5)^2+(1,204)^216pi^2 approx1,51 Hz

Resposta

A frequência natural sem amortecimento seria aproximadamente 1,51 Hz.

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