Questão 17) Um pêndulo físico é formado por uma haste de um metro que está pivotada em um pequeno furo feito na régua a uma distância D do centro da haste. (a) Sabendo que o período de oscilação é de 2,5 s, calcule D. (b) Encontre o valor de D, para qual o período é mínimo. (Este exercício necessitará que você busque o momento de inércia de uma haste em que o eixo de rotação passa pelo centro de massa. Revise conceitos de teorema dos eixos paralelos e a matéria de máximos e mínimos).

Passo 1

O enunciado trata de um pêndulo físico formado por uma haste uniforme de comprimento L=1,0 m, pivotada a uma distância D do centro da haste. Em (a) queremos achar D dado que o período é T=2,5 s; em (b) buscamos o valor de D que minimiza o período. Para isso iremos usar:
  1. Momento de inércia da haste em torno de seu centro de massa, Icm=tfrac112mL^2.
  2. Teorema dos eixos paralelos: I=Icm+mD^2.
  3. Fórmula do período do pêndulo físico
T=2piraizIm,g,D
  1. No item (b), derivadas para otimização.

Passo 2

Aplicando o teorema dos eixos paralelos temos
I = Icm + mD^2 = ml(tfracL^212 + D^2r)
Logo o período é
T = 2pi raizml(tfracL^212 + D^2r)m,g,D = 2pi raizD^2 + tfracL^212g,D
Para L=1 m, isso vira
T = 2pi raizD^2 + tfrac1129,8,D

Passo 3

No item (a) sabemos T=2,5 s. Colocando em termos de D:
l(T2pir)^2 = D^2 + tfrac1129,8,D Longrightarrow l(2,52pir)^2 cdot 9,8,D = D^2 + 112
Calculando l(2,5/(2pi)r)^2cdot9,8approx1,551, obtemos
1,551,D = D^2 + 0,08333 Longrightarrow D^2 - 1,551,D + 0,08333 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática
D = 1,551 pm raiz1,551^2 - 4cdot0,083332 approx 1,551 pm 1,4392,
temos duas raízes: Dapprox1,495 m ou Dapprox0,056 m. Como a haste tem meio comprimento de 0,5 m, só faz sentido pivotar dentro da haste, logo
Dapprox0,056 m

Passo 5

Para o item (b) queremos minimizar
T^2 propto D^2 + tfrac112D = D + 1/12D
Derivando em relação a D e igualando a zero:
ddDl(D + tfrac112Dr) = 1 - 1/12D^2 = 0 Longrightarrow D^2 = 112 Longrightarrow D = 1raiz12approx0,289 m

Resposta

(a) Dapprox0,056 m
(b) D=tfrac1raiz12approx0,289 m

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