Questão 17) Um pêndulo físico é formado por uma haste de um metro que está pivotada em um pequeno furo feito na régua a uma distância
do centro da haste. (a) Sabendo que o período de oscilação é de
, calcule
. (b) Encontre o valor de
, para qual o período é mínimo. (Este exercício necessitará que você busque o momento de inércia de uma haste em que o eixo de rotação passa pelo centro de massa. Revise conceitos de teorema dos eixos paralelos e a matéria de máximos e mínimos).
Passo 1
O enunciado trata de um pêndulo físico formado por uma haste uniforme de comprimento
m, pivotada a uma distância
do centro da haste. Em (a) queremos achar
dado que o período é
s; em (b) buscamos o valor de
que minimiza o período. Para isso iremos usar:
- Momento de inércia da haste em torno de seu centro de massa,
. - Teorema dos eixos paralelos:
. - Fórmula do período do pêndulo físico
- No item (b), derivadas para otimização.
Passo 2
Aplicando o teorema dos eixos paralelos temos
Logo o período é
Para
m, isso vira
Passo 3
No item (a) sabemos
s. Colocando em termos de
:
Calculando
, obtemos
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
temos duas raízes:
m ou
m. Como a haste tem meio comprimento de
m, só faz sentido pivotar dentro da haste, logo
Passo 5
Para o item (b) queremos minimizar
Derivando em relação a
e igualando a zero:
Resposta
(a)
m
(b) m
(b)