1^{a} Questão: Resolva cada uma das seguintes integrais.
(15 pontos) \int x^{7} \ln (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x^{7}\ln(x)\,dx.
O conteúdo aqui é integração por partes, que usa a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos as parcelas de integração por partes de modo a simplificar a parte com \ln(x). Definimos
u = \ln(x), \quad dv = x^{7}\,dx.

Passo 3

Derivamos e integramos cada parte:
du = \frac{1}{x}\,dx, \quad v = \int x^{7}\,dx = \frac{x^{8}}{8}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int x^{7}\ln(x)\,dx = u\,v - \int v\,du = \frac{x^{8}}{8}\ln(x) - \int \frac{x^{8}}{8}\cdot\frac{1}{x}\,dx.

Passo 5

Dentro da segunda integral simplifica-se a potência de x:
\int \frac{x^{8}}{8}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{1}{8}\int x^{7}\,dx = \frac{1}{8}\cdot\frac{x^{8}}{8} = \frac{x^{8}}{64}.

Passo 6

Substituindo de volta, a primitiva fica
\int x^{7}\ln(x)\,dx = \frac{x^{8}}{8}\ln(x) - \frac{x^{8}}{64} + C.

Resposta

\boxed{\frac{x^{8}}{8}\ln(x) - \frac{x^{8}}{64} + C}

Exercícios relacionados