Suponha que os vetores u e v formem um ângulo de 60^circ. Calcule |u+v| e |u-v|, sabendo também que |u|=8 e |v|=5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está falando sobre vetores e ângulos entre eles. Precisamos calcular o tamanho (ou norma) da soma e da diferença dos vetores u e v, sabendo que eles formam um ângulo de 60^circ e que |u| = 8 e |v| = 5. Vamos usar um pouco de trigonometria e álgebra vetorial para chegar nas respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para calcular a norma de u + v e u - v, podemos usar a fórmula do produto escalar, que relaciona o ângulo entre os vetores com suas normas. A fórmula geral para a norma de a pm b é:
|a pm b|^2 = |a|^2 + |b|^2 pm 2 |a| |b| cos(theta)
Onde theta é o ângulo entre os vetores a e b.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula para u + v primeiro. Sabemos que |u| = 8, |v| = 5 e theta = 60^circ. Substituindo na fórmula:
|u + v|^2 = 8^2 + 5^2 + 2 times 8 times 5 times cos(60^circ)
Sabemos que cos(60^circ) = 0.5, então:
|u + v|^2 = 64 + 25 + 2 times 8 times 5 times 0.5 = 89 + 40 = 89
Então, |u + v| = raiz89.

Passo 4

Agora, vamos calcular a norma de u - v. Usando a mesma fórmula, mas agora com o sinal de menos:
|u - v|^2 = 8^2 + 5^2 - 2 times 8 times 5 times cos(60^circ)
Substituindo os valores:
|u - v|^2 = 64 + 25 - 40 = 49
Portanto, |u - v| = raiz49 = 7.

Resposta

A norma de u + v é raiz89 e a norma de u - v é 7.

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