Sejam E=(e1, e2, e3) e F=(f1, f2, f3) bases de V^3 tais que:
f1=e1-e3 f2=3 e1 f3=4 e1-3 e2
Determine as coordenadas do vetor v na base E, sabendo que [v]F=(1,2,-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas bases, E e F , para o espaço vetorial V^3 . As bases estão definidas por:
E = (e1, e2, e3)
F = (f1, f2, f3)
E também sabemos que [v]F = (1, 2, -1) . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas do vetor v na base E .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa [v]F = (1, 2, -1) . Isso quer dizer que o vetor v pode ser escrito como uma combinação linear das bases de F :
v = 1 cdot f1 + 2 cdot f2 - 1 cdot f3

Passo 3

Agora, vamos substituir as expressões das f1, f2 e f3 em termos das bases de E :
f1 = e1 - e3
f2 = 3 e1
f3 = 4 e1 - 3 e2
Substituindo na expressão de v :
v = 1 cdot (e1 - e3) + 2 cdot (3 e1) - 1 cdot (4 e1 - 3 e2)

Passo 4

Vamos distribuir os coeficientes:
v = e1 - e3 + 6 e1 - 4 e1 + 3 e2

Passo 5

Agora, vamos somar os termos semelhantes:
v = (e1 + 6 e1 - 4 e1) + 3 e2 - e3
v = (3 e1) + 3 e2 - e3

Resposta

As coordenadas do vetor v na base E são [v]E = (3, 3, -1) .

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