Questão 15: Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os sistemas:
l-2 x2+3 x3=0 3 x1+6 x2-3 x3=0 6 x1+6 x2+3 x3=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
-2x2+3x3=0, 3x1+6x2-3x3=0, 6x1+6x2+3x3=0
usando o método de Gauss–Jordan. Vamos montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares para levá-la à forma reduzida por linhas.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada l[Amid 0r]:
0 & -2 & 3 &mid& 0 3 & 6 & -3 &mid& 0 6 & 6 & 3 &mid& 0

Passo 3

Para obter um pivô na coluna 1 trocamos a linha 1 com a linha 2, e em seguida normalizamos a linha 1 dividindo por 3:
1 & 2 & -1 &mid& 0 0 & -2 & 3 &mid& 0 6 & 6 & 3 &mid& 0

Passo 4

Eliminamos o elemento abaixo do pivô na coluna 1:
R3 R3-6,R1 resulta em
1 & 2 & -1 &mid& 0 0 & -2 & 3 &mid& 0 0 & -6 & 9 &mid& 0

Passo 5

Agora escolhemos o pivô na coluna 2 na linha 2 e normalizamos dividindo por -2:
1 & 2 & -1 &mid& 0 0 & 1 & -tfrac32 &mid& 0 0 & -6 & 9 &mid& 0

Passo 6

Eliminamos as demais entradas na coluna 2:
R1 R1-2,R2 e R3 R3+6,R2. Obtemos
1 & 0 & 2 &mid& 0 0 & 1 & -tfrac32 &mid& 0 0 & 0 & 0 &mid& 0

Passo 7

A terceira linha é toda zero, indicando que x3 é variável livre. Chamemos x3=t, com tinR.

Passo 8

Fazendo retro-substituição nas duas primeiras linhas:
x1+2x3=0implies x1=-2t, x2-tfrac32x3=0implies x2=tfrac32t, x3=t

Resposta

A solução geral do sistema é
(x1,x2,x3)=( -2t,tfrac32t,t ), tinR

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