Questão 15: Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os sistemas:
l2 x1+2 x2+2 x3=0 -2 x1+5 x2+2 x3=0 8 x1+x2+4 x3=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear homogêneo
2x1+2x2+2x3=0, -2x1+5x2+2x3=0, 8x1+x2+4x3=0
usando o método de Gauss–Jordan. Vamos montar a matriz aumentada e aplicar eliminações para chegar à forma reduzida, encontrando a solução geral em função de um parâmetro.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada [Amid 0]:
[ccc|c 2 & 2 & 2 & 0 -2 & 5 & 2 & 0 8 & 1 & 4 & 0 ]
Primeiro, tornamos o pivô da primeira linha igual a 1 dividindo R1 por 2:
R1 tfrac12R1 ;Longrightarrow; [ccc|c 1 & 1 & 1 & 0 -2 & 5 & 2 & 0 8 & 1 & 4 & 0 ]
Em seguida, eliminamos a coluna x1 em R2 e R3:
R2 R2+2R1, R3 R3-8R1 ;Longrightarrow; [ccc|c 1 & 1 & 1 & 0 0 & 7 & 4 & 0 0 & -7 & -4 & 0 ]

Passo 3

Agora usamos o segundo pivô. Dividimos R2 por 7 para obter 1 na posição (2,2):
R2 tfrac17R2 ;Longrightarrow; [ccc|c 1 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & tfrac47 & 0 0 & -7 & -4 & 0 ]
Por fim, eliminamos o termo em x2 na terceira linha:
R3 R3+7R2 ;Longrightarrow; [ccc|c 1 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & tfrac47 & 0 0 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 4

A matriz reduzida corresponde ao sistema
x1 + x2 + x3 = 0, x2 + tfrac47x3 = 0,
daí
x2 = -tfrac47x3, x1 = -x2-x3 = -l(-tfrac47x3r)-x3 = -tfrac37x3
Como x3 é livre, definimos x3=t. Assim
(x1,x2,x3) = l(-tfrac37t,,-tfrac47t,,tr) = tl(-tfrac37,-tfrac47,1r)
Multiplicando o parâmetro por 7 ( t=7s) para eliminar frações,
(x1,x2,x3) = s,(-3,-4,7), sinR

Resposta

(x1,x2,x3) = s,(-3,-4,7), sinR

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